Triángulos

En un triángulo, conocemos la medida de dos de sus ángulos interiores: $\hat{A} = 45^\circ$ y $\hat{B} = 75^\circ$. Calcula cuánto mide el tercer ángulo $\hat{C}$ sabiendo que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.

Para decorar su habitación, Lucía ha recortado un banderín de tela con forma de triángulo. Al medir sus lados, ha visto que miden $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. ¿Cómo se clasifica este triángulo según la longitud de sus lados?

Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual que mide $40^\circ$. Si los otros dos ángulos son iguales entre sí, ¿cuál es la medida de cada uno de esos ángulos iguales?

Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo):

• Triángulo 1: Sus ángulos miden $90^\circ$, $40^\circ$ y $50^\circ$.

• Triángulo 2: Sus ángulos miden $110^\circ$, $30^\circ$ y $40^\circ$.

• Triángulo 3: Sus ángulos miden $60^\circ$, $60^\circ$ y $60^\circ$.

En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo de $90^\circ$ miden $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$. ¿Cómo se llaman esos dos lados en la terminología matemática de los triángulos rectángulos? ¿Y cómo se llama el lado más largo que queda frente al ángulo recto?

En un taller de diseño gráfico, están creando un nuevo logotipo que tiene forma de triángulo. Sabemos que dos de sus ángulos interiores miden $42^\circ$ y $68^\circ$.

1. a) Calcula cuánto mide el tercer ángulo del logotipo.
2. b) Clasifica el triángulo según sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo).
3. c) Clasifica el triángulo según sus lados (equilátero, isósceles o escaleno).

Marcos tiene tres varillas de madera para construir una estructura triangular. Las longitudes de las varillas son $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$. Explica razonadamente si Marcos podrá formar un triángulo con ellas o si le resultará imposible.

Un carpintero tiene tres listones de madera para fabricar un marco triangular para un espejo. Los listones miden $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.

1. a) Explica, utilizando la propiedad de la suma de los lados de un triángulo, si es posible construir el marco con esas medidas.
2. b) Si decide cambiar el listón de $24\text{ cm}$ por uno de $20\text{ cm}$, ¿podría construirlo ahora? Razona tu respuesta.

Un parque infantil tiene un arenero en forma de triángulo rectángulo. Sabemos que el lado más largo (la hipotenusa) mide $13\text{ metros}$ y uno de los lados que forma el ángulo recto mide $5\text{ metros}$.

1. a) Calcula la longitud del otro lado del arenero.
2. b) Halla el perímetro total del arenero.
3. c) Calcula la superficie que ocupa la arena.

Observa la figura adjunta, que representa una pieza metálica. Está formada por un triángulo rectángulo grande y otro más pequeño en su interior. Sabemos que el cateto horizontal del grande mide $15 \text{ cm}$ y su área es de $60 \text{ cm}^2$. El triángulo pequeño es semejante y tiene una base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcula la altura del triángulo grande.

2. Utilizando la lógica de las proporciones, calcula el área del triángulo pequeño. (Pista: si la base es la tercera parte, ¿qué pasará con la altura?).

Tres pueblos, Altea ($A$), Belmonte ($B$) y Calar ($C$), están situados de forma que forman un triángulo escaleno. Se quiere instalar una torre de telecomunicaciones que esté exactamente a la misma distancia de los tres pueblos.

1. a) ¿Qué punto notable del triángulo representa la ubicación de la torre?
2. b) ¿Qué rectas notables has tenido que trazar para encontrar dicho punto? Dibuja un esquema aproximado de la situación.

Tres pueblos de la sierra, Alpedrete, Becerril y Cercedilla, quieren construir una torre de telefonía que esté exactamente a la misma distancia de los tres para que todos tengan la misma cobertura.

1. ¿Cómo se llama el punto notable del triángulo donde deben colocar la torre?

2. Si el triángulo que forman los pueblos es obtusángulo, explica razonadamente si la torre estará dentro o fuera del área delimitada por los tres pueblos.

3. Dibuja un esquema aproximado de la situación.