Escala d'àrees i volums
Si dobles el costat d'un quadrat, no dobles la seva àrea: la quadruplices. La raó de semblança $k$ no afecta igual les longituds, les àrees i els volums, i confondre-ho és un dels errors més cars de la vida real (literalment, en el preu de les coses).
Longituds, àrees i volums: tres raons diferents
Dues figures planes són semblants amb raó de semblança $k = 3$. a) Per quin nombre es multipliquen les longituds? b) Per quin nombre es multiplica l'àrea? c) Si fossin…
Dues figures planes són semblants amb raó de semblança $k = 3$.
a) Per quin nombre es multipliquen les longituds?
b) Per quin nombre es multiplica l'àrea?
c) Si fossin cossos geomètrics, per quin nombre es multiplicaria el volum?
Dos quadrats són semblants amb raó $k = 2$. Si el petit té $5$ cm de costat: a) Quant mesura el costat del gran? b) Quines són les àrees dels dos quadrats?
Dos quadrats són semblants amb raó $k = 2$. Si el petit té $5$ cm de costat:
a) Quant mesura el costat del gran?
b) Quines són les àrees dels dos quadrats?
Calcular amb la raó d'àrees
Si coneixes com canvia l'àrea, per trobar $k$ has de fer l'arrel quadrada, no dividir entre $2$.
Una artista pinta un mural a partir d'un esbós de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicant una raó d'escala $k = 8$. a) Quines dimensions tindrà el mural? b) Quina…
Una artista pinta un mural a partir d'un esbós de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicant una raó d'escala $k = 8$.
a) Quines dimensions tindrà el mural?
b) Quina superfície tindrà?
c) Si un pot de pintura cobreix $2\ \text{m}^2$, quants pots necessitarà com a mínim?
a) La raó de les àrees de dues figures planes semblants és $9$. Quina és la raó de semblança entre els seus costats? I la raó entre els seus perímetres? b) Els volums de…
a) La raó de les àrees de dues figures planes semblants és $9$. Quina és la raó de semblança entre els seus costats? I la raó entre els seus perímetres?
b) Els volums de dos cossos semblants estan en raó $\frac{27}{8}$. Quina és la raó de semblança?
c) Les àrees de dues parcel·les semblants estan en raó $\frac{1}{4}$. Quina és la raó dels seus costats?
Calcular amb la raó de volums
Igual que abans, però amb arrel cúbica: si coneixes com canvia el volum, $k$ surt de $\sqrt[3]{\,}$.
Per a la maqueta d'un barri s'han construït dues casetes semblants amb raó de semblança $1,5$. La caseta petita va necessitar $7,2\ \text{dm}^2$ de cartolina i el seu…
Per a la maqueta d'un barri s'han construït dues casetes semblants amb raó de semblança $1,5$. La caseta petita va necessitar $7,2\ \text{dm}^2$ de cartolina i el seu volum interior és de $6,4$ litres.
a) Quanta cartolina es necessitarà per a la caseta gran?
b) Quin serà el seu volum interior?
Un projector forma un quadrat d'$1,5$ m de costat sobre una pantalla situada a $3$ m. En allunyar la pantalla fins a $6$ m, la imatge continua sent quadrada, com es…
Un projector forma un quadrat d'$1,5$ m de costat sobre una pantalla situada a $3$ m. En allunyar la pantalla fins a $6$ m, la imatge continua sent quadrada, com es mostra a la figura.
a) Quina és la raó de semblança entre les dues imatges? Quant mesura el costat del quadrat a $6$ m?
b) Quantes vegades més gran és l'àrea de la imatge llunyana que la de la propera?
c) Com que la mateixa quantitat de llum es reparteix per tota la superfície, amb quina fracció de lluminositat per metre quadrat es veu la imatge a $6$ m respecte a $3$ m?
d) A quina distància caldria col·locar la pantalla perquè l'àrea de la imatge fos $9$ vegades la inicial?
Maquetes, mapes i quant costa ampliar
Aquestes raons apareixen en coses molt quotidianes: quant de vidre necessita una peixera, quant costa omplir d'aigua un dipòsit més gran, o quant de terreny real ocupa una finca dibuixada en un mapa.
Dues peixeres són semblants: la petita mesura $40$ cm de llarg i la gran, $80$ cm. a) Quina és la raó de semblança? b) Si el vidre de la peixera petita va costar…
Dues peixeres són semblants: la petita mesura $40$ cm de llarg i la gran, $80$ cm.
a) Quina és la raó de semblança?
b) Si el vidre de la peixera petita va costar $30\text{ €}$, quant costarà el de la gran, al mateix preu per superfície?
c) Si omplir d'aigua la petita costa $5\text{ €}$, quant costarà omplir la gran?
Una empresa de mudances vol «duplicar la capacitat» de les seves caixes cúbiques i decideix fabricar-les amb l'arista el doble de llarga. El cap afirma: «Així hi cabrà…
Una empresa de mudances vol «duplicar la capacitat» de les seves caixes cúbiques i decideix fabricar-les amb l'arista el doble de llarga. El cap afirma: «Així hi cabrà el doble de coses».
a) Explica l'error del cap.
b) Quantes vegades més capacitat tindrà realment la caixa nova?
c) Si la caixa petita té un volum de $27\ \text{dm}^3$, quin serà el volum de la nova?