Funció de proporcionalitat inversa

Un grup d'amics vol llogar una pista de pàdel que costa $20$ € en total. El preu que ha de pagar cadascun depèn del nombre de persones que vagin a jugar. Observa la taula següent que relaciona el nombre d'amics ($x$) i els diners que paga cadascun ($y$):

Calcula el producte de les dues magnituds ($x \cdot y$) per a cada columna i comprova que sempre és el mateix. Com es diu aquest valor constant en les funcions de proporcionalitat inversa?

Un grup d'amics vol llogar una pista de pàdel durant el cap de setmana. El preu total de la reserva és fix, per la qual cosa el cost per persona depèn de quants s'hi apuntin finalment. Observa la taula següent:

1. a) Comprova raonadament si es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa.
2. b) Troba la constant de proporcionalitat inversa $k$ i explica què representa en aquest context.
3. c) Escriu l'equació de la funció que relaciona totes dues magnituds.

Una empresa de missatgeria ha de repartir $60$ paquets. Si contracta més repartidors, cadascun haurà de portar menys paquets. La relació ve donada per la funció $y = \frac{60}{x}$, on $x$ és el nombre de repartidors i $y$ és el nombre de paquets per repartidor.

Si l'empresa decideix contractar $6$ repartidors, quants paquets portarà cadascun?

Volem dissenyar un hort rectangular al pati de l'institut que tingui sempre una àrea fixa de $24\ \text{m}^2$.

1. a) Escriu la funció que expressa la longitud de l'altura ($y$) en funció de la longitud de la base ($x$).

1. b) Indica si la funció és creixent o decreixent i justifica la teva resposta basant-te en el context del problema.

1. c) Representa gràficament la funció per a valors de la base entre $1$ i $12$ metres. Pots ajudar-te d'una taula de valors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un grup d'estudiants de 2n d'ESO ha guanyat un premi compartit de $600$ $€$ en un concurs de robòtica. El premi es reparteix a parts iguals entre tots els membres de l'equip.

1. a) Construeix una taula que relacione el nombre d'estudiants que formen l'equip ($x$) i la quantitat de diners que rep cadascun ($y$).

1. b) Representa la funció gràficament. És una funció contínua o discontínua? Justifica la teua resposta.

1. c) Si cada estudiant vol rebre almenys $75$ $€$, quin és el nombre màxim d'alumnes que poden formar l'equip?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Dues magnituds $A$ i $B$ són inversament proporcionals. Es sap que quan $A$ augmenta en $5$ unitats, el valor de $B$ es redueix a la meitat del valor original (que era $B = 20$).

1. a) Calcula el valor inicial de la magnitud $A$.
2. b) Determina la constant de proporcionalitat inversa $k$.
3. c) Escriu l'expressió analítica de la funció que relaciona totes dues magnituds.

Volem construir rectangles que tinguin tots la mateixa àrea: $24$ $cm^2$. La relació entre la base ($x$) i l'altura ($y$) d'aquests rectangles segueix una funció de proporcionalitat inversa. A la figura pots veure la gràfica d'aquesta relació i, com a exemple, un rectangle de base $6$ $cm$ i altura $4$ $cm$.

1. a) Escriu l'equació que relaciona l'altura en funció de la base.
2. b) Si la base mesura $8$ $cm$, quina serà la seva altura?

Un camió cisterna de $15.000$ litres de capacitat es buida mitjançant diverses bombes d'extracció idèntiques. Si s'utilitzen $2$ bombes, la cisterna es buida en $6$ hores.

1. a) Quant de temps es trigaria si s'utilitzessin $4$ bombes?
2. b) I si la volguéssim buidar en només $2$ hores, quantes bombes necessitaríem?
3. c) Identifica les variables independent i dependent i escriu la fórmula de la funció que les relaciona.

Un servidor de videojocs té una capacitat de transferència de dades fixa per baixar una actualització de $1,2$ GB ($1228,8$ MB). La velocitat de descàrrega $v$ (en MB/s) i el temps necessari $t$ (en segons) són magnituds inversament proporcionals.

1. a) Escriu la funció que relaciona el temps $t$ en funció de la velocitat $v$.
2. b) Si un usuari té una connexió limitada a $4$ MB/s, quants minuts trigarà a descarregar l'actualització?
3. c) Si volem que la descàrrega no duri més de $2$ minuts, quina ha de ser la velocitat mínima de la nostra connexió?