Àrea
Quant de cartró cal per a una caixa? Quanta xapa per a una llauna? Per saber-ho necessites l'àrea del cos: la suma de les àrees de totes les seves cares. El truc sempre és el mateix: imaginar el cos desplegat, pla sobre la taula.
Àrea lateral i àrea total
Un artesà està fabricant daus gegants de fusta per a una ludoteca. Si cada dau és un cub perfecte que té una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superfície total…
Un artesà està fabricant daus gegants de fusta per a una ludoteca. Si cada dau és un cub perfecte que té una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superfície total de fusta que haurà de pintar en cadascun dels daus.
Calcula l'àrea total d'una caixa de sabates amb forma d'ortoedre les dimensions de la qual són $15 \text{ cm}$ d'amplada, $30 \text{ cm}$ de llargada i $10 \text{ cm}$…
Calcula l'àrea total d'una caixa de sabates amb forma d'ortoedre les dimensions de la qual són $15 \text{ cm}$ d'amplada, $30 \text{ cm}$ de llargada i $10 \text{ cm}$ d'altura. Dibuixa de forma esquemàtica el seu desenvolupament pla per ajudar-te en el càlcul.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Àrea d'un prisma
Les cares laterals d'un prisma recte, desplegades, formen un rectangle la base del qual és el perímetre de la base del prisma i l'altura del qual és l'altura del prisma.
$$A_L = P_{base} \cdot h \qquad\qquad A_T = A_L + 2 \cdot A_{base}$$Per a un projecte de tecnologia, necessites forrar amb paper adhesiu un pot cilíndric de llapis. El pot té un radi de la base de $r = 4 \text{ cm}$ i una altura de…
Per a un projecte de tecnologia, necessites forrar amb paper adhesiu un pot cilíndric de llapis. El pot té un radi de la base de $r = 4 \text{ cm}$ i una altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula quants centímetres quadrats de paper necessitaràs, sabent que el pot està obert per dalt (només té una base). Pren $\pi \approx 3,14$.
Per a un projecte de tecnologia, has de fabricar una caixa de fusta amb forma de prisma hexagonal regular. L'arista de la base mesura $4\text{ cm}$ i l'altura del prisma…
Per a un projecte de tecnologia, has de fabricar una caixa de fusta amb forma de prisma hexagonal regular. L'arista de la base mesura $4\text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$. Calcula la superfície total de fusta que necessitaràs per construir la caixa (incloent-hi les dues bases).
(Nota: Per trobar l'àrea de la base, recorda que primer has de calcular l'apotema de l'hexàgon utilitzant el teorema de Pitàgores).
Calcula l'àrea total d'un cub sabent que la diagonal d'una de les seves cares mesura $10\text{ cm}$. (Pista: Utilitza el teorema de Pitàgores en una de les cares per…
Calcula l'àrea total d'un cub sabent que la diagonal d'una de les seves cares mesura $10\text{ cm}$.
(Pista: Utilitza el teorema de Pitàgores en una de les cares per trobar la mida de l'arista del cub abans de calcular l'àrea).
Àrea d'una piràmide
Les cares laterals d'una piràmide regular són triangles iguals, de base el costat $l$ de la base i d'altura l'apotema de la piràmide $ap$ (que no és el mateix que l'altura $h$).
$$A_L = \frac{P_{base} \cdot ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Un envelat de jardí té forma de prisma triangular regular recte. La base és un triangle equilàter de costat $l = 3 \text{ m}$. Si la longitud de l'envelat (alçària del…
Un envelat de jardí té forma de prisma triangular regular recte. La base és un triangle equilàter de costat $l = 3 \text{ m}$. Si la longitud de l'envelat (alçària del prisma) és de $5 \text{ m}$, calcula l'àrea lateral de l'envelat (sense incloure les dues bases triangulars).
En una gelateria de disseny, han creat un cucurutxo amb forma de con recte l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $5\text{ cm}$. Calcula…
En una gelateria de disseny, han creat un cucurutxo amb forma de con recte l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $5\text{ cm}$. Calcula l'àrea total del cucurutxo (superfície lateral més el cercle de la base) per saber quant de xocolata necessiten per banyar-lo per complet.
(Pista: Primer hauràs de trobar la generatriu del con).
Àrea d'un cilindre i d'un con
El cilindre i el con es desplieguen igual que els políedres, però les seves cares laterals són corbes:
$$A_{L,\text{cilindro}} = 2\pi r h \qquad A_{L,\text{cono}} = \pi r g$$Un fabricant d'espelmes artesanals vol recobrir amb un paper protector argentat la superfície lateral d'una espelma cilíndrica. L'espelma té un diàmetre de $8\text{ cm}$…
Un fabricant d'espelmes artesanals vol recobrir amb un paper protector argentat la superfície lateral d'una espelma cilíndrica. L'espelma té un diàmetre de $8\text{ cm}$ i una altura de $20\text{ cm}$. Si el paper només ha de cobrir la part corba (sense les bases), quina superfície de paper es necessita per a cada espelma? Utilitza $\pi \approx 3,14$.
Un far decoratiu per a un jardí està format per dos cossos: un cilindre de $10\text{ cm}$ de radi i $30\text{ cm}$ d'altura, coronat per un con de la mateixa base i…
Un far decoratiu per a un jardí està format per dos cossos: un cilindre de $10\text{ cm}$ de radi i $30\text{ cm}$ d'altura, coronat per un con de la mateixa base i $15\text{ cm}$ de generatriu. Calcula l'àrea total de la superfície exterior d'aquest far (sense comptar la base sobre la qual es recolza).
Àrea de l'esfera
L'esfera no es desenvolupa, però la seva àrea es calcula amb una fórmula molt simple: quatre vegades l'àrea del seu cercle màxim.
$$A = 4\pi r^2$$Observa el desenvolupament pla d'aquest cos geomètric. Si cadascun dels triangles isòsceles té una àrea de $15 \text{ cm}^2$ i el quadrat central té un costat de…
Observa el desenvolupament pla d'aquest cos geomètric. Si cadascun dels triangles isòsceles té una àrea de $15 \text{ cm}^2$ i el quadrat central té un costat de $6 \text{ cm}$, quina és l'àrea total de la figura quan es munti? Quin cos geomètric es forma?
Calcula l'àrea lateral d'un cilindre la circumferència de la base del qual mesura $C = 25,12 \text{ cm}$ i la seva altura és de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recorda que…
Calcula l'àrea lateral d'un cilindre la circumferència de la base del qual mesura $C = 25,12 \text{ cm}$ i la seva altura és de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recorda que en obrir el cilindre, l'àrea lateral és un rectangle la base del qual és la longitud de la circumferència).
Torna al principi: Per a la caixa de sabates de $30 \times 20 \times 12$ cm calen $2\,400\text{ cm}^2$ de cartró i per a la llauna de conserves es necessiten uns $245\text{ cm}^2$ de xapa.