Volum
Quanta aigua cap en una piscina? Quant de gelat hi ha en un cucurutxo? Aquestes preguntes són de volum: l'espai que ocupa un cos.
Prismes i cilindres
Un prisma o un cilindre són com una «pila» de bases iguals, una a sobre de l'altra. El seu volum és l'àrea de la base per l'alçada:
$$V = A_{base} \cdot h \qquad \text{Ortoedre: } V = a \cdot b \cdot c \qquad \text{Cilindre: } V = \pi r^2 h$$Per a un projecte de classe, has d'estimar quanta aigua cap a la teva motxilla escolar. Si suposem que la teva motxilla té una capacitat de $18.500 \text{ cm}^3$, quants…
Per a un projecte de classe, has d'estimar quanta aigua cap a la teva motxilla escolar. Si suposem que la teva motxilla té una capacitat de $18.500 \text{ cm}^3$, quants litres d'aigua podria contenir si fos totalment impermeable?
Recorda que $1 \text{ dm}^3$ és equivalent a $1 \text{ litre}$.
Una coneguda marca de batuts ha dissenyat un nou envàs cilíndric per a la seva edició limitada d'estiu. El pot té un diàmetre de $8\text{ cm}$ i una altura de…
Una coneguda marca de batuts ha dissenyat un nou envàs cilíndric per a la seva edició limitada d'estiu. El pot té un diàmetre de $8\text{ cm}$ i una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricant indica que el batut ocupa el $90\%$ de la capacitat total de l'envàs per deixar espai a l'aire, calcula quants mil·litres ($ml$) de producte conté cada pot.
Piràmides i cons: un terç
Si omples d'aigua una piràmide i la buides en un prisma amb la mateixa base i la mateixa alçada, necessites exactament tres piràmides per omplir-lo. El mateix passa amb el con i el cilindre.
$$V_{piràmide} = \frac{A_{base} \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{con} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Per a un esdeveniment de videojocs, s'ha dissenyat un trofeu que consisteix en una piràmide quadrangular regular de bronze. El costat de la base quadrada mesura…
Per a un esdeveniment de videojocs, s'ha dissenyat un trofeu que consisteix en una piràmide quadrangular regular de bronze. El costat de la base quadrada mesura $12\text{ cm}$ i l'aresta lateral (la que uneix el vèrtex amb una cantonada de la base) mesura $10\text{ cm}$. Calcula el volum de bronze necessari per fabricar un trofeu.
Un dissenyador ha creat un trofeu per a un torneig d'eSports* amb una forma geomètrica complexa. El trofeu consisteix en un prisma quadrangular regular de fusta sobre el…
Un dissenyador ha creat un trofeu per a un torneig d'eSports amb una forma geomètrica complexa. El trofeu consisteix en un prisma quadrangular regular de fusta sobre el qual se suporta una piràmide quadrangular regular de metall. L'aresta de la base comuna mesura $12\text{ cm}$. L'altura del prisma és de $20\text{ cm}$, i sabem que l'aresta lateral de la piràmide mesura $10\text{ cm}$. Calcula el volum total del trofeu en decímetres cúbics ($dm^3$).
L'esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$En un museu de ciència hi ha una exhibició interactiva amb una esfera de vidre plena d'un gas noble. Si el diàmetre de l'esfera és de $60\text{ cm}$, quin és el volum de…
En un museu de ciència hi ha una exhibició interactiva amb una esfera de vidre plena d'un gas noble. Si el diàmetre de l'esfera és de $60\text{ cm}$, quin és el volum de gas al seu interior? Expressa el resultat en metres cúbics ($m^3$).
Cossos compostos
Molts objectes reals combinen diversos cossos: un sitja (cilindre + semiesfera), un trofeu (prisma + piràmide). Es descomponen, es calcula el volum de cada part i se sumen (o es resten, si és un buit).
Un silo d'emmagatzematge de gra té una forma composta: un cos cilíndric de $10\text{ m}$ d'altura i una cúpula semiesfèrica a la part superior. Si el radi de la base és…
Un silo d'emmagatzematge de gra té una forma composta: un cos cilíndric de $10\text{ m}$ d'altura i una cúpula semiesfèrica a la part superior. Si el radi de la base és de $4\text{ m}$, calcula la capacitat total del silo en hectolitres ($hl$).
Una empresa de perfums ven la seva fragància estrella en un frasc que consisteix en un cilindre de vidre de $4\text{ cm}$ de diàmetre i $10\text{ cm}$ d'altura, rematat…
Una empresa de perfums ven la seva fragància estrella en un frasc que consisteix en un cilindre de vidre de $4\text{ cm}$ de diàmetre i $10\text{ cm}$ d'altura, rematat per un tap en forma de con de la mateixa base i $3\text{ cm}$ d'altura. Si el frasc s'omple només fins al $85\%$ de la seva capacitat total per deixar espai a l'aire, quants mil·litres ($ml$) de perfum conté cada frasc? (Pren $\pi \approx 3,1416$).
Torna al principi: Per a la piscina calcules el volum d'un ortoedre multiplicant llarg, ample i profunditat; per al cucurutxo ja has vist que hi cap un terç del cilindre equivalent (uns $94\text{ ml}$).