Teorema de Tales
Fa uns $2\,600$ anys, Tales de Milet va mesurar l'alçada d'una piràmide egípcia sense pujar-hi: només va fer servir un pal clavat a terra i l'ombra d'ambdós. La idea que va utilitzar funciona sempre que hi hagi rectes paral·leles, i tu també la faràs servir.
El teorema de Tales
En el dibuix següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Sabent que els segments determinats en la recta $r$ mesuren…
En el dibuix següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Sabent que els segments determinats en la recta $r$ mesuren $AB = 4\text{ cm}$ i $BC = 6\text{ cm}$, i que el segment homòleg a $AB$ en la recta $s$ fa $A'B' = 2\text{ cm}$, calcula la longitud del segment $B'C'$.
En el diagrama següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Utilitza les dades proporcionades per a calcular la longitud del…
En el diagrama següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Utilitza les dades proporcionades per a calcular la longitud del segment desconegut $x$.
Triangles en posició de Tales
Quan un triangle petit és dins d'un de gran, comparteixen un vèrtex i el costat oposat és paral·lel, els dos triangles estan en posició de Tales: són semblants, i tots els seus costats corresponents són proporcionals.
Dos triangles estan en posició de Tales. El triangle petit té costats que mesuren $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$. Si el costat corresponent al de…
Dos triangles estan en posició de Tales. El triangle petit té costats que mesuren $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$. Si el costat corresponent al de $3\text{ cm}$ al triangle gran fa $9\text{ cm}$, quant mesuraran els altres dos costats del triangle major?
Un jove dissenyador gràfic està creant un logotip que inclou dos triangles en posició de Tales. Sabent que el segment $DE$ és paral·lel a $BC$, calcula les longituds…
Un jove dissenyador gràfic està creant un logotip que inclou dos triangles en posició de Tales. Sabent que el segment $DE$ és paral·lel a $BC$, calcula les longituds dels segments $AD$ i $BC$ si sabem que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm i $DE = 3$ cm.
Dividir un segment en parts proporcionals
El teorema de Tales també serveix per repartir un segment en parts iguals o en una proporció donada, amb regle i compàs, sense mesurar a ull.
Dibuixa un segment $AB$ que mesuri $10\text{ cm}$ a la teva llibreta. Utilitzant el mètode del teorema de Tales, divideix-lo exactament en $4$ parts iguals. Descriu…
Dibuixa un segment $AB$ que mesuri $10\text{ cm}$ a la teva llibreta. Utilitzant el mètode del teorema de Tales, divideix-lo exactament en $4$ parts iguals. Descriu breument els passos que has seguit (traçat de la semirrecta auxiliar, divisions iguals i unió dels extrems).
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Divideix un segment de $7\text{ cm}$ en dues parts tals que la seva relació sigui $2$ a $3$. Per a fer-ho, utilitza una semirrecta auxiliar i marca $5$ divisions iguals…
Divideix un segment de $7\text{ cm}$ en dues parts tals que la seva relació sigui $2$ a $3$. Per a fer-ho, utilitza una semirrecta auxiliar i marca $5$ divisions iguals ($2+3$). Quant mesura cadascun dels dos nous segments obtinguts sobre l'original?
Divideix gràficament un segment $AB$ de $9$ cm de longitud en tres parts que siguin proporcionals als nombres $2$, $3$ i $4$. Explica breument els passos realitzats…
Divideix gràficament un segment $AB$ de $9$ cm de longitud en tres parts que siguin proporcionals als nombres $2$, $3$ i $4$. Explica breument els passos realitzats basant-te en el teorema de Tales.
Mesurar alçades amb ombres
A la mateixa hora del dia, els raigs del sol arriben paral·lels a tots els objectes. Per això cada objecte i la seva ombra formen un triangle rectangle semblant al de qualsevol altre objecte i la seva ombra en aquell mateix instant.
Un jove de $1,5\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $1\text{ metre}$ de llarg. En aquest mateix instant, l'ombra d'un fanal del carrer fa $4\text{ metres}$.…
Un jove de $1,5\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $1\text{ metre}$ de llarg. En aquest mateix instant, l'ombra d'un fanal del carrer fa $4\text{ metres}$. Quina altura té el fanal? Dibuixa un esquema amb dos triangles rectangles per a visualitzar la situació.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
En un parc, un arbre de $2\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $3,5\text{ metres}$. A pocs metres hi ha una estàtua l'ombra de la qual fa exactament…
En un parc, un arbre de $2\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $3,5\text{ metres}$. A pocs metres hi ha una estàtua l'ombra de la qual fa exactament $7\text{ metres}$. Quina és l'altura de l'estàtua? Utilitza la semblança de triangles que estableix el teorema de Tales.
Per a mesurar l'altura d'una canasta de bàsquet, un alumne de 2n d'ESO col·loca un pal vertical de $1,5$ metres d'altura de manera que l'extrem de la seva ombra…
Per a mesurar l'altura d'una canasta de bàsquet, un alumne de 2n d'ESO col·loca un pal vertical de $1,5$ metres d'altura de manera que l'extrem de la seva ombra coincideix exactament amb l'extrem de l'ombra de la canasta. Si l'ombra del pal fa $2,1$ metres i la distància des de la base del pal fins a la base de la canasta és de $2,2$ metres, quina altura té la canasta?
Torna al principi: Tales va mesurar l'ombra de la piràmide i la del seu bastó en el mateix instant: com que els raigs del sol són paral·lels, la raó $\frac{\text{alçada}}{\text{ombra}}$ és idèntica en tots dos i permet calcular l'alçada sense pujar-hi.