Aplicacions de la semblança
Ja saps què és una figura semblant i com funciona la raó $k$. Ara toca fer-la servir: amb un plànol pots saber la mida real d'una piscina sense trepitjar-la, i amb una ombra pots mesurar un arbre sense pujar-hi.
Escales: plànols, mapes i maquetes
Un plànol, un mapa o una maqueta són sempre semblants a la realitat. L'escala és la raó de semblança, i s'escriu $1 : n$: cada unitat del dibuix representa $n$ unitats reals.
La maqueta d'un nou poliesportiu està construïda a escala $1:200$. Si la piscina olímpica mesura $25 \text{ cm}$ de llargada a la maqueta, quants metres mesurarà la…
La maqueta d'un nou poliesportiu està construïda a escala $1:200$. Si la piscina olímpica mesura $25 \text{ cm}$ de llargada a la maqueta, quants metres mesurarà la piscina en la realitat?
Al plànol d'un habitatge a escala $1:75$, la sala d'estar té forma rectangular amb unes dimensions de $8$ cm de llargada i $6$ cm d'amplada. Calcula la superfície real…
Al plànol d'un habitatge a escala $1:75$, la sala d'estar té forma rectangular amb unes dimensions de $8$ cm de llargada i $6$ cm d'amplada. Calcula la superfície real de la sala d'estar en metres quadrats ($m^2$).
Pantalles, fotos i objectes semblants
Dues fotos, dues pantalles o dos rectangles qualssevol són semblants si mantenen la mateixa forma: l'amplada i l'alçada creixen en la mateixa proporció.
Tenim dos rectangles semblants. El primer mesura $8 \text{ cm}$ d'amplada i $12 \text{ cm}$ d'alçària. Si el segon té una amplada de $20 \text{ cm}$, quina ha de ser la…
Tenim dos rectangles semblants. El primer mesura $8 \text{ cm}$ d'amplada i $12 \text{ cm}$ d'alçària. Si el segon té una amplada de $20 \text{ cm}$, quina ha de ser la seva alçària perquè mantingui la mateixa forma?
Dues pantalles de televisió són semblants. La primera té una diagonal de $32$ polzades i la seva superfície és d'aproximadament $2800$ $cm^2$. Si la segona pantalla té…
Dues pantalles de televisió són semblants. La primera té una diagonal de $32$ polzades i la seva superfície és d'aproximadament $2800$ $cm^2$. Si la segona pantalla té una diagonal de $48$ polzades:
-
Quina és la raó de semblança entre la pantalla gran i la petita?
-
Quina superfície ocupa la pantalla de $48$ polzades?
Mesurar alçades amb ombres
A la mateixa hora, el Sol forma els mateixos angles amb tot el que il·lumina. Un objecte i la seva ombra, i un altre objecte i la seva ombra, formen dos triangles rectangles semblants.
Per mesurar l'alçària d'un arbre al pati de l'institut, aprofitem un dia assolellat. Un llistó clavat verticalment a terra que mesura $1,5 \text{ m}$ d'alçària projecta…
Per mesurar l'alçària d'un arbre al pati de l'institut, aprofitem un dia assolellat. Un llistó clavat verticalment a terra que mesura $1,5 \text{ m}$ d'alçària projecta una ombra de $0,9 \text{ m}$. Si en aquest mateix instant l'ombra de l'arbre mesura $6 \text{ m}$, quina és l'alçària de l'arbre?
Un creador de contingut està gravant un vídeo a l'exterior. Per calcular l'alçària d'una escultura moderna, col·loca el seu trípode, que mesura $1,20$ metres d'alçària,…
Un creador de contingut està gravant un vídeo a l'exterior. Per calcular l'alçària d'una escultura moderna, col·loca el seu trípode, que mesura $1,20$ metres d'alçària, de manera que projecta una ombra de $90$ cm a terra. En aquest mateix instant, l'ombra de l'escultura mesura $4,5$ metres. Quina alçària té l'escultura?
L'alçada sobre la hipotenusa: teorema del catet i de l'altura
En un triangle rectangle, si traces l'altura $h$ des de l'angle recte fins a la hipotenusa, apareixen tres triangles semblants entre ells: el gran i els dos de petits en què es divideix.
En el triangle rectangle de la figura, la hipotenusa mesura $25 \text{ cm}$. L'alçària relativa a la hipotenusa, $h$, divideix aquesta en dos segments, $m$ i $n$. Si…
En el triangle rectangle de la figura, la hipotenusa mesura $25 \text{ cm}$. L'alçària relativa a la hipotenusa, $h$, divideix aquesta en dos segments, $m$ i $n$. Si sabem que el catet $b$ mesura $15 \text{ cm}$:
- a) Calcula la mesura de la projecció $m$ utilitzant el teorema del catet.
- b) Calcula el valor de l'alçària $h$ utilitzant el teorema de l'alçària.
- c) Troba l'àrea i el perímetre del triangle total.