Poliedres

Un arquitecte està dissenyant un nou model de vidriera per a un centre comercial amb forma de prisma pentagonal recte. Observa el dibuix i contesta les preguntes següents per ajudar-lo amb l'inventari de materials:

1. a) Quantes cares té el prisma en total?
2. b) Quants vèrtexs té la figura?
3. c) Quantes aristes hi ha en total?

A classe de Tecnologia, els alumnes estan construint una estructura per a una maqueta. Han dissenyat un poliedre que té $7$ cares i $10$ vèrtexs. Utilitza el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$) per calcular quantes varetes (aristes) necessitaran per muntar l'estructura completa.

Els daus que s'utilitzen als jocs de rol solen tenir les formes dels políedres regulars. Si estàs jugant amb un dau que té forma d'octàedre (observa la figura, on les arestes ocultes apareixen discontínues):

1. a) Quina forma tenen les seves cares?

1. b) Quantes cares té aquest dau?

1. c) Quantes arestes es troben a cadascun dels seus vèrtexs?

Un políedre convex té el mateix nombre de cares que un octàedre regular i el mateix nombre de vèrtexs que arestes té un cub. Utilitza el Teorema d'Euler per determinar quantes arestes té aquest cos geomètric. Representa esquemàticament un políedre que compleixi aquestes característiques (per exemple, un prisma hexagonal).

Classifica les piràmides següents segons el polígon de la seva base i determina si són regulars o irregulars justificant la teva resposta:

1. a) Una piràmide la base de la qual és un quadrat de $5\text{ cm}$ de costat i les seves cares laterals són triangles isòsceles iguals.
2. b) Una piràmide la base de la qual és un rectangle de $4\text{ cm}$ per $6\text{ cm}$.

Calcula el volum d'una piràmide quadrangular regular la qual l'arista de la base mesura $10 \text{ cm}$ i l'arista lateral mesura $13 \text{ cm}$. Per resoldre-ho, hauràs de calcular primer l'apotema de la piràmide i després la seva altura utilitzant el Teorema de Pitegores.

Assenyala quina de les afirmacions següents sobre els poliedres és FALSA i explica per què:

1. Un poliedre convex és aquell que, en recolzar-lo sobre qualsevol cara, no "s'enfonsa".

2. El tetraedre regular és el poliedre que té menys cares possibles.

3. En un poliedre regular, en cada vèrtex hi pot concórrer un nombre diferent d'aristes.

4. El cub és un tipus especial de prisma quadrangular.

Una coneguda marca de xocolates ven els seus productes en caixes amb forma de prisma triangular regular. Si el costat del triangle de la base mesura $6 \text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $20 \text{ cm}$, calcula l'àrea total de cartró necessària per fabricar una caixa. (Recorda que primer hauràs de trobar l'altura del triangle de la base utilitzant el Teorema de Pitegores).

Una empresa de joieria artesana vol fabricar un penjoll de plata amb la forma d'un octaedre regular. Si cada arista de l'octaedre mesura $12\text{ mm}$, calcula la superfície total de plata que necessitaran per cobrir el penjoll (l'àrea total). Pista: Recorda que un octaedre regular està format per vuit triangles equilàters iguals. Necessitaràs calcular primer l'altura d'un d'aquests triangles utilitzant el Teorema de Pitegores.