Altres sistemes de numeració
Un ordinador només entén $0$ i $1$. Una inscripció maia fa servir punts i ratlles. Una placa de teatre diu "MCMXCVIII". El nostre sistema decimal (base $10$) no és l'únic possible: qualsevol nombre es pot escriure en qualsevol base, canviant quants símbols diferents fas servir i quant val cada posició.
El sistema decimal no és l'únic: què és una base
En base $10$ fem servir $10$ símbols ($0$-$9$) i cada posició val $10$ vegades l'anterior. En base $2$ (binari) només hi ha dos símbols, $0$ i $1$, i cada posició val el doble que l'anterior.
En el món de la informàtica, la unitat mínima d'informació és el bit, que només pot prendre els valors $0$ o $1$ (sistema binari). Un processador antic d'una consola…
En el món de la informàtica, la unitat mínima d'informació és el bit, que només pot prendre els valors $0$ o $1$ (sistema binari). Un processador antic d'una consola retro utilitza registres de 8 bits. Si un personatge té un nivell d'energia representat pel nombre decimal $43$, com apareixeria aquest valor en el codi binari de la consola?
En una excavació arqueològica s'ha trobat una inscripció amb un sistema de numeració desconegut. Després d'analitzar-lo, els experts han determinat que és un sistema de…
En una excavació arqueològica s'ha trobat una inscripció amb un sistema de numeració desconegut. Després d'analitzar-lo, els experts han determinat que és un sistema de base 4, on els símbols són: $\triangle = 0$, $\square = 1$, $\bigcirc = 2$ i $\star = 3$.
Si el tresor es troba a una distància de $\bigcirc \star \square \triangle$ metres de l'entrada principal, calcula aquesta distància en el nostre sistema decimal. Posteriorment, expressa el resultat obtingut en sistema binari.
De decimal a binari: divisions successives
Per fer el camí invers, dividexes el nombre entre $2$ una vegada i una altra, i els residus (llegits de l'últim al primer) formen el nombre binari.
Els ordinadors utilitzen el sistema binari (base 2) per processar la informació, usant només els dígits $0$ i $1$. Per entendre com "pensa" una màquina, converteix el…
Els ordinadors utilitzen el sistema binari (base 2) per processar la informació, usant només els dígits $0$ i $1$. Per entendre com "pensa" una màquina, converteix el número decimal $13$ a codi binari utilitzant el mètode de les divisions successives entre $2$.
A l'esquema tens les divisions que has de fer. En cada fila es divideix entre $2$ el quocient de la fila anterior, i es continua fins que el quocient siga $0$.
- a) Completa les caselles de l'esquema: quocient i resta de cada divisió, fins arribar a quocient $0$.
- b) Llig les restes de baix cap amunt (de l'últim al primer) i escriu el número $13$ en base 2.
En un sistema informàtic, multiplicar un nombre binari per $2^n$ equival a desplaçar les seves xifres $n$ posicions cap a l'esquerra (afegint zeros al final). Donat el…
En un sistema informàtic, multiplicar un nombre binari per $2^n$ equival a desplaçar les seves xifres $n$ posicions cap a l'esquerra (afegint zeros al final).
Donat el nombre decimal $21$:
- a) Expressa'l en sistema binari.
- b) Realitza l'operació de desplaçar les seves xifres $3$ posicions cap a l'esquerra.
- c) Converteix el nombre resultant de nou a sistema decimal i comprova que el resultat és equivalent a multiplicar $21 \times 2^3$.
Interpretar i modificar l'algorisme
La conversió per divisions successives és un algorisme. La seva entrada és un enter no negatiu i la seva sortida és la seva escriptura en binari. Per a l'entrada 0 retornem directament 0. Per a les altres, repetim la divisió entera entre 2 i guardem els residus fins que el quocient sigui zero; finalment llegim els residus al revés.
Transfereix la idea: per convertir a base 3, canvia el divisor a 3; els residus possibles són 0, 1 i 2. Amb 13 obtens residus 1, 1, 1 i la sortida $111_3$, ja que $9+3+1=13$. Explica quines parts de l'algorisme es mantenen iguals i quines canvien.
Per investigar amb un full de càlcul, escriu el nombre inicial a A2; a B2, =RESIDUO(A2;2), i a A3, =COCIENTE(A2;2). Copia la fórmula de residus i continua les divisions fins al primer quocient zero; no incloguis el residu d'aquesta fila addicional. Llegeix els residus anteriors en ordre invers. Si canvies de base, has de canviar el divisor en ambdues fórmules. Quantes xifres necessitarà un nombre abans de convertir-lo? Compara nombres pròxims a potències de la base i comprova la teva conjectura amb casos petits.
Nombres romans
Els nombres romans no són posicionals: cada símbol té un valor fix, i es combinen sumant o restant segons l'ordre en què apareixen.
A la façana d'un antic teatre de la teva ciutat apareix esculpit l'any de la seva inauguració en nombres romans: MCMXCVIII. Tradueix aquest nombre al nostre sistema…
A la façana d'un antic teatre de la teva ciutat apareix esculpit l'any de la seva inauguració en nombres romans: MCMXCVIII. Tradueix aquest nombre al nostre sistema decimal per saber en quin any es va obrir el teatre.
Calcula el resultat de l'operació següent amb nombres romans, expressant el valor final tant en numeració romana com en el sistema de numeració decimal:…
Calcula el resultat de l'operació següent amb nombres romans, expressant el valor final tant en numeració romana com en el sistema de numeració decimal:
$(MMCDLXIV - MDCCCLXXXIX) \times XII$
Altres sistemes antics: maia, babiloni i altres bases
No totes les civilitzacions van fer servir la base $10$. Els maies feien servir la base $20$ (vigesimal) amb punts i ratlles; els babilonis, la base $60$ (la mateixa base que fem servir avui per al temps i els angles).
El sistema de numeració maia era vigesimal (base 20) i posicional vertical. Observa el nombre següent representat mitjançant els seus nivells i tradueix-lo al nostre…
El sistema de numeració maia era vigesimal (base 20) i posicional vertical. Observa el nombre següent representat mitjançant els seus nivells i tradueix-lo al nostre sistema decimal:
-
Nivell 3 (superior): Un punt.
-
Nivell 2 (mitjà): Dues ratlles i tres punts.
-
Nivell 1 (inferior): Una ratlla.
(Recorda que en el sistema maia, el punt val $1$ i la ratlla val $5$).
Un explorador intergalàctic ha arribat a un planeta on els natius utilitzen un sistema de numeració de base 5. Et donen les següents equivalències per entendre el seu…
Un explorador intergalàctic ha arribat a un planeta on els natius utilitzen un sistema de numeració de base 5. Et donen les següents equivalències per entendre el seu llenguatge:
$1_{5} = \text{I}$, $2_{5} = \text{V}$, $3_{5} = \text{X}$, $4_{5} = \text{L}$.
Si et diuen que falten $\text{XXL}$ hores perquè s'enlairi la nau nodrissa:
- a) Escriu la quantitat d'hores en sistema decimal.
- b) Calcula a quants minuts equival aquest temps.