Els nombres primers

En un videojoc d'estratègia, necessites classificar els cristalls d'energia segons la seva puresa. Els cristalls amb nombres primers donen energia extra, mentre que els nombres compostos han de ser processats.

Classifica els nombres següents a la taula de la teva llibreta:

$11, 15, 23, 27, 31, 39, 42, 47, 51$

La Criba d'Eratòstenes és un mètode antic per trobar nombres primers tatxant els múltiples de nombres anteriors. Observa el gràfic següent dels nombres del $1$ al $20$:

Copia la graella al teu quadern i completa el procés fins al nombre $50$ per identificar tots els nombres primers menors que $50$.

Una aplicació de missatgeria utilitza un filtre de seguretat que només permet passar missatges l'identificador dels quals sigui un nombre primer. Classifica els identificadors següents en nombres primers o nombres compostos, justificant la teva decisió en cada cas mitjançant la cerca d'algun divisor diferent de la unitat i el mateix nombre:

1. a) $119$
2. b) $131$
3. c) $143$
4. d) $151$
5. e) $203$

Un expert en ciberseguretat està dissenyant un sistema de xifratge per a una aplicació de missatgeria. La clau de seguretat principal és un nombre $N$ que s'obté multiplicant una parella de nombres primers gemells compresos entre $100$ i $110$. No obstant això, en revisar la llista, se n'adona que en aquest interval hi ha dues parelles de primers gemells, de manera que l'elecció no és única. Per solucionar el problema, decideix que la clau serà el producte dels dos nombres primers més propers a $105$ (un per sota i l'altre per sobre).

Determina quins són aquests dos nombres primers, comprova de manera raonada que ho són mitjançant el mètode de l'arrel quadrada i calcula el valor de la clau de seguretat $N$.

Observa l'arbre de factors incomplet següent que representa la descomposició d'un nombre natural. La teva tasca és completar-lo i escriure finalment la descomposició factorial d'aquest nombre fent servir potències de factors primers.

Es diu que un nombre natural és "especial" si és el producte de tres nombres primers diferents i menors que $20$. Un exemple seria $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Troba el nombre "especial" més gran possible i el més petit possible. A continuació, esbrina quants divisors té cadascun d'aquests dos nombres sense necessitat d'enumerar-los tots, utilitzant únicament els exponents de la seva descomposició factorial.