Sistemes d'equacions
En una papereria, dos bolígrafs i tres gomes costen 4 €; dos bolígrafs i una goma costen 2 €. Quant val cada cosa? Hi ha dues incògnites (el bolígraf i la goma) i dues pistes. Una sola equació no n'hi ha prou: necessites resoldre-les alhora. Això és un sistema d'equacions.
Què és un sistema
Comprovar una solució és substituir a les dues equacions, no només en una. Si $x = 0{,}5$ i $y = 1$: $2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 1 = 4$ ✓ i $2 \cdot 0{,}5 + 1 = 2$ ✓.
Significat gràfic
Cada equació d'aquest tipus, amb dues incògnites, és una recta (tots els seus punts són solució). La solució del sistema és el punt on les dues rectes es tallen. Mou les rectes i observa:
En un videojoc de rol, els punts d'experiència de dues habilitats, Força ($x$) i Màgia ($y$), han de complir les condicions del sistema d'equacions següent:…
En un videojoc de rol, els punts d'experiència de dues habilitats, Força ($x$) i Màgia ($y$), han de complir les condicions del sistema d'equacions següent:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Comprova, fent les operacions necessàries, quina d'aquestes parelles de valors és la solució correcta del sistema perquè el personatge pugui pujar de nivell:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
Tradueix al llenguatge algebraic i escriu el sistema d'equacions corresponent a la situació següent: "En una cafeteria, per dos refrescos ($x$) i una bossa de patates…
Tradueix al llenguatge algebraic i escriu el sistema d'equacions corresponent a la situació següent:
"En una cafeteria, per dos refrescos ($x$) i una bossa de patates ($y$) ens han cobrat $5$ €. Si comprem un refresc i una bossa de patates, el preu és de $3$ €."
(No cal resoldre'l, només plantejar el sistema).
Mètode de substitució
Aïlles una incògnita en una equació i la substitueixes a l'altra. Va especialment bé quan una incògnita ja està aïllada o té coeficient $1$.
Resol el sistema següent pel mètode de substitució. Fixa't que a la segona equació la incògnita $y$ ja està aïllada, la qual cosa facilita el procés: $$\begin{cases} 3x…
Resol el sistema següent pel mètode de substitució. Fixa't que a la segona equació la incògnita $y$ ja està aïllada, la qual cosa facilita el procés:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Mètode d'igualació
Aïlles la mateixa incògnita a les dues equacions i iguales les dues expressions que obtens.
Resol pel mètode d'igualació el sistema següent. Per fer-ho, iguala les dues expressions que representen el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resol pel mètode d'igualació el sistema següent. Per fer-ho, iguala les dues expressions que representen el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$Mètode de reducció
Multipliques les equacions pels nombres adequats perquè, en sumar-les (o restar-les), una de les incògnites desaparegui.
Resol el sistema següent utilitzant el mètode de reducció. Observa que la incògnita $y$ té coeficients oposats ($+1$ i $-1$), de manera que pots sumar les dues equacions…
Resol el sistema següent utilitzant el mètode de reducció. Observa que la incògnita $y$ té coeficients oposats ($+1$ i $-1$), de manera que pots sumar les dues equacions directament per eliminar-la:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía ha comprat a la papereria $2$ bolígrafs i $3$ gomes d'esborrar per un total de $4$ €. Pedro ha comprat $2$ bolígrafs i $1$ goma d'esborrar per $2$ €. Si $x$ és el…
Lucía ha comprat a la papereria $2$ bolígrafs i $3$ gomes d'esborrar per un total de $4$ €. Pedro ha comprat $2$ bolígrafs i $1$ goma d'esborrar per $2$ €.
Si $x$ és el preu d'un bolígraf i $y$ el d'una goma, el sistema que representa la situació és:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$Troba el preu de cada article utilitzant el mètode de reducció (restant totes dues equacions).
Plantejar problemes amb sistemes
-
Tria dues incògnites i escriu què significa cadascuna ($x$ = preu del bolígraf, $y$ = preu de la goma).
-
Tradueix cada dada de l'enunciat en una equació diferent.
-
Resol pel mètode que més et convingui i comprova a l'enunciat.
En un videojoc d'estratègia, per desbloquejar una millora necessites recollir gemmes blaves i gemmes vermelles. Sabem que el triple de gemmes blaves més el doble de…
En un videojoc d'estratègia, per desbloquejar una millora necessites recollir gemmes blaves i gemmes vermelles. Sabem que el triple de gemmes blaves més el doble de gemmes vermelles suma un total de 34 d'energia. A més, la diferència entre el nombre de gemmes blaves i vermelles és de només 3 unitats.
- a) Planteja un sistema d'equacions per esbrinar quantes gemmes de cada tipus necessites.
- b) Comprova si la parella de valors $x = 8, y = 5$ (on $x$ són les blaves i $y$ les vermelles) és la solució del sistema.
Observa la figura següent composta per dos rectangles amb propietats diferents. El rectangle A té un perímetre de $22\text{ cm}$. El rectangle B és tal que la seva base…
Observa la figura següent composta per dos rectangles amb propietats diferents. El rectangle A té un perímetre de $22\text{ cm}$. El rectangle B és tal que la seva base és el doble que la del rectangle A i la seva altura és el triple que la del rectangle A, sumant un perímetre total de $52\text{ cm}$.
Calcula les dimensions $x$ (base) i $y$ (altura) del rectangle A plantejant i resolent un sistema pel mètode d'igualació.
Torna al principi: El sistema de la papereria era $\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$; en resoldre'l vam obtenir $x = 0{,}5$ i $y = 1$, per la qual cosa cada bolígraf costa $0{,}50$ € i cada goma $1$ €.