Exercicis: Semblança de triangles

Dos triangles són semblants si tenen els seus angles iguals. Comprova si els dos triangles següents són semblants calculant l'angle que falta en cadascun:

• El triangle A té dos angles que mesuren $45^\circ$ i $75^\circ$.

• El triangle B té dos angles que mesuren $75^\circ$ i $60^\circ$.

Recorda que la suma dels angles interiors de qualsevol triangle sempre és $180^\circ$.

Calcula la raó de semblança $k$ que converteix el triangle petit en el triangle gran, sabent que són semblants. Un cop trobada la $k$, indica quant ha de mesurar el costat marcat amb la lletra $x$.

Marta ha dibuixat dos triangles en posició de Tales. Sabent que els segments horitzontals són paral·lels, calcula la mesura del costat $x$ utilitzant la proporció entre els seus costats corresponents.

Un arbre projecta una ombra de $12$ metres. En aquest mateix instant, un bastó de $1,5$ metres clavat verticalment a terra projecta una ombra de $2$ metres. Quina alçària té l'arbre? Explica per què els triangles formats per l'arbre i el bastó amb les seves ombres són semblants.

Comprova si aquests dos triangles són semblants utilitzant el criteri dels costats proporcionals (criteri SSS). Per fer-ho, divideix els costats corresponents (el més gran entre el més gran, el mitjà entre el mitjà i el més petit entre el més petit) i mira si obtens el mateix resultat.

• Triangle 1: Costats de $6$ cm, $9$ cm i $12$ cm.

• Triangle 2: Costats de $4$ cm, $6$ cm i $8$ cm.

Dos triangles rectangles tenen un angle agut igual de $37^\circ$. Podem afirmar que són semblants? Justifica la teva resposta utilitzant els criteris de semblança de triangles.

Calcula la mesura dels costats d'un triangle semblant a un altre els costats del qual mesuren $5$ cm, $7$ cm i $9$ cm, si la raó de semblança és $k = 3$. Com serà el nou triangle, més gran o més petit que l'original?

Utilitza el teorema de Tales per trobar el valor de $x$ en la figura següent, on els prestatges de la prestatgeria triangular són paral·lels a la base.

L'Hugo està estudiant per a l'examen de Matemàtiques i ha de determinar si dos triangles són semblants. El primer triangle té costats que mesuren $4\text{ cm}$, $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, i el segon té costats que mesuren $7\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ i $11\text{ cm}$. L'Hugo escriu a la seva llibreta:\n«Són semblants perquè si restes els costats corresponents, $7 - 4 = 3$, $9 - 6 = 3$ i $11 - 8 = 3$; com que la diferència sempre és la mateixa ($3\text{ cm}$), els dos triangles creixen al mateix ritme i tenen la mateixa forma».\n\na) Localitza l'error conceptual que comet l'Hugo i explica amb les teves paraules per què una diferència constant entre els costats no garanteix que dues figures siguin semblants.\nb) Comprova matemàticament, calculant les raons dels costats corresponents, si els triangles de l'Hugo són o no semblants.\nc) Escriu les mesures que hauria de tenir el segon triangle si el costat homòleg al de $4\text{ cm}$ mesurés realment $7\text{ cm}$ perquè tots dos fossin semblants.

En un parc de Valladolid, un fanal vertical projecta una ombra a terra de $4,8\text{ m}$ en el mateix instant en què en Marcos, que fa $1,60\text{ m}$ d'alçària, projecta una ombra d'$1,20\text{ m}$.\n\na) Abans de fer cap operació escrita, observa les mesures d'en Marcos i la seva ombra: la seva ombra és més llarga o més curta que la seva alçària real? Basant-te en això, estima si l'alçària del fanal serà més gran o més petita que els seus $4,8\text{ m}$ d'ombra i escriu una estimació raonada d'entre quins valors aproximats hauria d'estar la seva alçària real.\nb) Justifica per què els triangles formats pel fanal amb la seva ombra i per en Marcos amb la seva són semblants citant el criteri de semblança aplicable.\nc) Planteja la proporció corresponent, calcula l'alçària exacta del fanal i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era encertada.

Dos alumnes de 2n d'ESO, Lucía i Marcos, estan comprovant si dues veles triangulars dels seus vaixells de vela lleugera són semblants. La vela de Lucía té dos angles que mesuren $65^\circ$ i $45^\circ$. La vela de Marcos té un angle de $45^\circ$ i un altre de $70^\circ$.

a) Calcula el tercer angle de cadascuna de les veles.

b) Raona, utilitzant els criteris de semblança, si les dues veles tenen la mateixa forma (són semblants).

Per a mesurar l'altura d'una canasta de bàsquet, un grup d'estudiants utilitza un pal de $1,5$ metres col·locat verticalment. En el mateix instant en què l'ombra del pal fa $1,2$ metres, l'ombra de la canasta projectada a terra fa $2,4$ metres. Calcula l'altura de la canasta aprofitant la semblança dels triangles formats pel sol.

En el disseny d'una estructura metàl·lica per a una teulada, s'utilitzen dues bigues paral·leles per reforçar l'armadura principal. Sabent que els triangles que es formen estan en posició de Tales, calcula la longitud dels segments marcats com a $x$ i $y$ en el següent esquema:

(Nota: A la base, el segment petit mesura $4\text{ m}$ i el total $10\text{ m}$. Al vessant inclinat, el segment petit mesura $5\text{ m}$. Troba $x$, la base restant, i $y$, el segment restant del vessant inclinat).

Un dron està sobrevolant un parc a una altura de $15$ metres. La seva càmera projecta un camp de visió triangular a terra. Si el dron puja fins a una altura de $45$ metres:

a) Quina és la raó de semblança entre el triangle de visió original i el nou?

b) Si el perímetre de l'àrea que cobria a terra era de $120$ metres, quin serà el perímetre de la nova àrea?

c) Si la superfície (àrea) coberta originalment era de $800\text{ m}^2$, quina serà la superfície coberta a la nova altura?

Calcula la distància entre els punts $B$ i $D$ de la figura següent, sabent que els segments $BC$ i $DE$ són paral·lels i que els punts $A$, $B$ i $D$ estan alineats, igual que $A$, $C$ i $E$. Les dades conegudes són: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ i $DE = 12,5\text{ cm}$.

L'ajuntament vol instal·lar una rampa d'accés per a cadires de rodes. El disseny original és un triangle rectangle de base $4$ metres i altura $0,8$ metres. Per normativa, han d'ampliar la base fins als $6$ metres mantenint la mateixa inclinació (angle).

a) Quina altura tindrà la nova rampa?

b) Si per a la rampa original es necessitaven $4,08$ metres de superfície de rodament (hipotenusa), quants metres es necessitaran per a la rampa ampliada?

Daniel vol mesurar la profunditat d'un pou circular de $1,6$ metres de diàmetre. Per a fer-ho, s'allunya $0,8$ metres de la vora fins que, des d'una altura de $1,75$ metres (la dels seus ulls), aconsegueix veure exactament la vora del fons del pou. Utilitza la semblança de triangles per a trobar la profunditat del pou.

Disposem de dos triangles isòsceles. El primer té un angle desigual de $40^\circ$ i els seus costats iguals mesuren $10\text{ cm}$ cadascun. El segon té també un angle desigual de $40^\circ$ però els seus costats iguals mesuren $15\text{ cm}$.

a) Són semblants aquests dos triangles? Justifica la teva resposta citant el criteri de semblança aplicat.

b) Quina és la raó de semblança entre el segon i el primer?

c) Si la base del primer triangle fa $6,84\text{ cm}$, quant mesurarà la base del segon?

El Codi Tècnic de l'Edificació (CTE) a Espanya regula que les rampes d'accés per a persones amb mobilitat reduïda no han de superar un pendent màxim ni salvar desnivells superiors a $1,20\text{ m}$ d'alçària sense intercalar-hi un replà horitzontal. En un centre de salut d'Albacete s'ha construït una rampa recta. En revisar-la, l'arquitecte tècnic comprova que en els primers $3\text{ m}$ d'avanç horitzontal la rampa ha ascendit $0,18\text{ m}$ d'alçària sobre el terra.\n\na) Modela la situació mitjançant triangles rectangles i explica per què qualsevol punt al llarg de la rampa forma amb el terra un triangle semblant al que abraça la rampa en la seva totalitat.\nb) Si la distància horitzontal total des de l'inici de la rampa fins a la porta d'entrada és de $18\text{ m}$, calcula l'alçària total que salva la rampa.\nc) Amb les dades obtingudes i la normativa indicada, determina si la rampa pot ser contínua o si és obligatori incloure-hi un replà horitzontal intermedi. Justifica la teva conclusió.

Un taller d'artesania fabrica marcs triangulars de fusta. Disposen d'un marc patró de referència els costats del qual mesuren $5\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$. El taller rep l'encàrrec de dissenyar dos nous marcs triangulars, el marc $A$ i el marc $B$, que han de complir la condició de tenir dos costats que mesurin exactament $15\text{ cm}$ i $24\text{ cm}$.\n\na) Determina quina ha de ser la mesura exacta del tercer costat del marc $A$ perquè sigui semblant al marc patró. Indica quin criteri de semblança has aplicat i quina és la raó de semblança $k$ que els relaciona.\nb) Proposa una mesura sencera possible per al tercer costat del marc $B$ de manera que formi un triangle geomètricament vàlid (recorda que la suma de dos costats qualssevol ha de ser sempre més gran que el tercer), però que NO sigui semblant al marc patró.\nc) Demostra detalladament per què el marc $B$ que has proposat no és semblant al marc patró comparant les raons entre els seus costats.

Un grup d'estudiants de 2n d'ESO vol mesurar l'altura de la torre de comunicació de la seva ciutat. Per a fer-ho, utilitzen un pal vertical de $2,5$ metres d'altura. Col·loquen el pal de tal manera que, en un moment determinat, l'extrem de l'ombra de la torre i el del pal coincideixen en el mateix punt de terra. Si la distància entre la base del pal i el punt on acaben les ombres és de $3,2$ metres, i la distància entre la base de la torre i la base del pal és de $18,4$ metres, calcula l'altura de la torre.

Dues secants es tallen en un punt $V$. Sobre una d'elles es mefiquen els punts $A$ i $B$, i sobre l'altra els punts $C$ i $D$, de tal manera que els segments $AC$ i $BD$ són paral·lels (configuració de Tales). Si sabem que $VA = 9$ cm, $VB = 15$ cm i l'àrea del triangle menor $VAC$ és de $27$ $cm^2$, calcula l'àrea del quadrilàter $ABDC$ sabent que els triangles són semblants.

Un fuster està dissenyant una estanteria reforçada amb un travesser en forma de triangle rectangle. En el triangle de la base, l'altura sobre la hipotenusa la divideix en dos segments que mesuren $18$ cm i $32$ cm. El fuster necessita saber la longitud dels dos llistons que formen els catets del triangle per a comprar-los. Calcula la mesura de tots dos catets i l'altura del travesser utilitzant les relacions de semblança en triangles rectangles.

Una pantalla de cinema d'estiu projecta una imatge des d'un focus situat a $12$ metres de distància. La pantalla original té una superfície de $24$ $m^2$. Si apropem la pantalla cap al projector fins a col·locar-la just a la meitat de la distància ($6$ metres del focus), la imatge projectada serà més petita però mantindrà la mateixa forma. Quina serà l'àrea de la imatge en aquesta nova posició? Raona la teva resposta utilitzant la relació entre la raó de semblança i l'àrea.

Per a calcular l'amplada d'un riu sense creuar-lo, un topògraf col·loca diverses estaques com es mostra a la figura. Els triangles formats, $ABC$ i $CDE$, són semblants perquè les voreres són paral·leles i les línies de visió es creuen en el punt $C$. Si les mesures preses són $AB = 24$ m, $BC = 30$ m i $CD = 15$ m, determina l'amplada del riu ($ED$) i explica quin criteri de semblança has aplicat.

Un arquitecte presenta una maqueta d'un centre cultural amb forma de piràmide de base triangular. La raó de semblança entre la maqueta i l'edifici real és de $1:150$. Si el volum de la maqueta és de $0,8$ $dm^3$, quin serà el volum de l'edifici real expressat en metres cúbics ($m^3$)? Recorda aplicar correctament la relació entre la raó de semblança i el volum.

En un triangle $ABC$, el costat $AB$ fa $12$ cm i el costat $AC$ fa $15$ cm. Tracem un segment $PQ$ paral·lel al costat $BC$, de tal manera que el punt $P$ està a $AB$ i el punt $Q$ està a $AC$. Si el segment $AP$ fa la tercera part del que fa el segment $PB$, calcula les longituds dels segments $AP$ i $AQ$. Justifica la teva resposta basant-te en el teorema de Tales.

Considera dos triangles rectangles. El primer té catets de $3$ cm i $4$ cm. El segon triangle és semblant al primer i la seva hipotenusa fa $15$ cm. Calcula el perímetre i l'àrea d'aquest segon triangle. (Pista: primer troba la hipotenusa del triangle original per a determinar la raó de semblança).

En una pista de monopatí es construeix una rampa de salt la secció lateral de la qual és un triangle rectangle. L'altura traçada sobre la hipotenusa (el terra) divideix aquesta en dos trams de projeccions que mesuren $m = 1,8\text{ m}$ i $n = 3,2\text{ m}$. Es vol calcular la longitud de la rampa de pujada, que correspon al catet menor $c$ adjacent a la projecció $m$.\n\nPer resoldre-ho, dos dissenyadors proposen mètodes diferents:\n- Mètode 1 (Sofía): Calcular primer l'altura $h$ amb el teorema de l'altura ($h^2 = m \cdot n$) i, després, aplicar el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle menor per trobar $c = \sqrt{h^2 + m^2}$.\n- Mètode 2 (Mateo): Aplicar directament el teorema del catet derivat de la semblança de triangles, segons el qual $c^2 = m \cdot (m + n)$, aïllant $c$ en un sol pas.\n\na) Aplica pas a pas tots dos mètodes amb les dades donades i comprova que s'obté exactament el mateix valor numèric per a la longitud $c$.\nb) Demostra algebraicament que la fórmula de la Sofía ($c^2 = h^2 + m^2$) equival exactament a la d'en Mateo ($c^2 = m \cdot (m + n)$) substituint-hi la igualtat $h^2 = m \cdot n$ i traient factor comú.\nc) Si les mesures de partida donessin lloc a arrels quadrades no exactes i no poguessis fer servir calculadora, justifica quin dels dos mètodes és més recomanable per evitar arrossegar errors d'arrodiment.

Una càmera fosca es basa en un orifici diminut pel qual entren rajos de llum en línia recta: en creuar-se a l'orifici, projecten a la pantalla posterior una imatge invertida i semblant a l'objecte exterior.\nUn grup d'estudiants construeix una càmera fosca amb una caixa de $20\text{ cm}$ de profunditat (distància de l'orifici a la pantalla posterior). Volen fotografiar un aerogenerador d'un parc eòlic a Castilla-La Mancha l'alçària total del qual és de $45\text{ m}$. La pantalla del fons de la càmera té una alçària útil màxima de $15\text{ cm}$.\n\na) Modela la situació descrivint els dos triangles que es formen a banda i banda de l'orifici i demostra per què són semblants indicant quins angles coincideixen i quin criteri de semblança es compleix.\nb) Planteja la proporció adequada i calcula a quina distància mínima de l'aerogenerador s'ha de col·locar la càmera perquè la seva imatge completa càpiga a la pantalla sense retallar-se.\nc) Si per seguretat els estudiants es veuen obligats a allunyar-se fins a situar la càmera exactament al triple de la distància calculada en l'apartat anterior, raona sense tornar a resoldre tota l'equació quina alçària mesurarà ara la imatge projectada i com es relaciona amb la raó de semblança.