Exercicis: Teorema de Tales

En el dibuix següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Sabent que els segments determinats en la recta $r$ mesuren $AB = 4\text{ cm}$ i $BC = 6\text{ cm}$, i que el segment homòleg a $AB$ en la recta $s$ fa $A'B' = 2\text{ cm}$, calcula la longitud del segment $B'C'$.

Dibuixa un segment $AB$ que mesuri $10\text{ cm}$ a la teva llibreta. Utilitzant el mètode del teorema de Tales, divideix-lo exactament en $4$ parts iguals. Descriu breument els passos que has seguit (traçat de la semirrecta auxiliar, divisions iguals i unió dels extrems).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un jove de $1,5\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $1\text{ metre}$ de llarg. En aquest mateix instant, l'ombra d'un fanal del carrer fa $4\text{ metres}$. Quina altura té el fanal? Dibuixa un esquema amb dos triangles rectangles per a visualitzar la situació.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos triangles estan en posició de Tales. El triangle petit té costats que mesuren $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$. Si el costat corresponent al de $3\text{ cm}$ al triangle gran fa $9\text{ cm}$, quant mesuraran els altres dos costats del triangle major?

Un fuster està construïnt una estanteria i vol comprovar si les dues lleixes són paral·leles. Per a fer-ho, mesura les distàncies en els suports laterals. Al costat esquerre, la distància entre terra i la primera lleixa és de $30\text{ cm}$, i entre la primera i la segona hi ha $40\text{ cm}$. Al costat dret, la distància a terra és de $45\text{ cm}$ i entre lleixes hi ha $60\text{ cm}$. Són paral·leles les lleixes? Justifica la teva resposta utilitzant la proporció del teorema de Tales.

Calcula el valor de la incògnita $x$ en la figura següent, sabent que els segments horitzontals són paral·lels entre ells.

Divideix un segment de $7\text{ cm}$ en dues parts tals que la seva relació sigui $2$ a $3$. Per a fer-ho, utilitza una semirrecta auxiliar i marca $5$ divisions iguals ($2+3$). Quant mesura cadascun dels dos nous segments obtinguts sobre l'original?

En un parc, un arbre de $2\text{ metres}$ d'altura projecta una ombra de $3,5\text{ metres}$. A pocs metres hi ha una estàtua l'ombra de la qual fa exactament $7\text{ metres}$. Quina és l'altura de l'estàtua? Utilitza la semblança de triangles que estableix el teorema de Tales.

Al pati del teu institut, a les $12:00$, claves verticalment a terra un regle d'$1\text{ m}$ d'alçària i observes que la seva ombra mesura exactament $0,5\text{ m}$. Just al costat, un fanal projecta en aquest mateix instant una ombra de $2,6\text{ m}$.

1. a) Sense fer operacions amb llapis i paper, estima de manera raonada si el fanal mesurarà més o menys de $5\text{ m}$, explicant la teva deducció a partir de la relació entre l'alçària del regle i la seva ombra.
2. b) Aplica el Teorema de Tales per calcular amb exactitud l'alçària real del fanal.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i explica per què el resultat és coherent.

Dues rectes secants, $r$ i $s$, són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). A la recta $r$, aquestes paral·leles determinen dos segments consecutius: $AB = 3\text{ cm}$ i $BC = 5\text{ cm}$. A la recta $s$, els segments homòlegs corresponents són $A'B' = 4,5\text{ cm}$ i $B'C' = x$.

Per calcular el valor de $x$, en Marcos ha escrit a la seva llibreta la següent igualtat:

i després d'aïllar ha obtingut que $x = 2,7\text{ cm}$.

1. a) Assenyala quin ha estat l'error de raonament d'en Marcos a l'hora d'aparellar els segments en la proporció.
2. b) Sense fer càlculs numèrics encara, argumenta per què un resultat de $2,7\text{ cm}$ contradiu la lògica geomètrica del Teorema de Tales fixant-te en les mesures d'$AB$ i $BC$.
3. c) Escriu la proporció correcta, resol-la pas a pas i determina la mesura real del segment $B'C'$.

En el diagrama següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles ($a$, $b$ i $c$). Utilitza les dades proporcionades per a calcular la longitud del segment desconegut $x$.

Un jove dissenyador gràfic està creant un logotip que inclou dos triangles en posició de Tales. Sabent que el segment $DE$ és paral·lel a $BC$, calcula les longituds dels segments $AD$ i $BC$ si sabem que $AB = 12$ cm, $AE = 5$ cm, $AC = 15$ cm i $DE = 3$ cm.

Per a mesurar l'altura d'una canasta de bàsquet, un alumne de 2n d'ESO col·loca un pal vertical de $1,5$ metres d'altura de manera que l'extrem de la seva ombra coincideix exactament amb l'extrem de l'ombra de la canasta. Si l'ombra del pal fa $2,1$ metres i la distància des de la base del pal fins a la base de la canasta és de $2,2$ metres, quina altura té la canasta?

Divideix gràficament un segment $AB$ de $9$ cm de longitud en tres parts que siguin proporcionals als nombres $2$, $3$ i $4$. Explica breument els passos realitzats basant-te en el teorema de Tales.

En una prestatgeria de disseny, tres suports metàl·lics paral·lels entre si són tallats per dos prestatges de fusta. El prestatge superior queda dividit pels suports en dos trams consecutius de $25$ cm i $x$. El prestatge inferior queda dividit en dos trams corresponents de $y$ i $48$ cm. Sabent que el prestatge superior mesura en total $65$ cm, calcula la mesura dels prestatges marcats amb $x$ i $y$.

Troba el quart proporcional de tres segments les longituds dels quals són $a = 8$ cm, $b = 12$ cm i $c = 10$ cm. Realitza tant el càlcul numèric com la construcció geomètrica utilitzant el teorema de Tales sobre dues semirrectes concurrents.

Comprova si les rectes $r$ i $s$ de la figura següent són paral·leles. Per a fer-ho, verifica si es compleix la relació de proporcionalitat entre els segments que determinen sobre les rectes secants que les tallen. Justifica la teva resposta amb els càlculs necessaris.

Una escala de mà de $2,4$ metres de longitud està recolzada en una paret. Els graons són paral·lels a terra. El primer graó està a $30$ cm de terra seguint la inclinació de l'escala, i el segon a uns altres $30$ cm del primer. Si la distància horitzontal des de la base de l'escala fins a la paret és d'$1,2$ metres, quina és la distància horitzontal des de la base fins a la vertical del segon graó?

Per millorar el confort tèrmic d'un centre de salut, l'Ajuntament encarrega instal·lar una pèrgola inclinada amb plaques solars. La biga mestra inclinada mesura $6\text{ m}$ de longitud i va recolzada des de terra fins a la part superior d'un mur vertical de $2,4\text{ m}$ d'alçària. Per reforçar l'estructura metàl·lica es col·loquen dos pilars verticals auxiliars (paral·lels al mur):

• El primer pilar es col·loca a $1,5\text{ m}$ del suport a terra (mesurats sobre la biga inclinada).

• El segon pilar es col·loca a $4\text{ m}$ d'aquest suport (mesurats també sobre la biga).

1. a) Modela la situació identificant els triangles en posició de Tales i justifica per què els dos pilars i el mur compleixen les condicions del teorema.
2. b) Calcula l'alçària exacta que ha de tenir cadascun dels dos pilars verticals de reforç.
3. c) Si la normativa municipal d'accessibilitat exigeix que l'alçària de pas lliure sota qualsevol punt transitable de l'estructura sigui d'almenys $1,5\text{ m}$, determina raonadament si una persona adulta que camina dreta pot passar per sota del primer pilar.

Es projecta dissenyar una estructura triangular $ABC$ de reforç per a una grua, on la base horitzontal $BC$ mesura $120\text{ cm}$ i el costat inclinat $AB$ mesura $90\text{ cm}$. S'ha de soldar un tirant d'acer horitzontal $DE$, paral·lel a la base $BC$, amb el punt $D$ situat sobre el costat $AB$ i el punt $E$ sobre el costat $AC$.

1. a) Si cal que la longitud del tirant $DE$ sigui exactament de $40\text{ cm}$, a quina distància del vèrtex $A$ s'ha de soldar el punt $D$ al llarg del costat $AB$?
2. b) Si es decideix modificar el disseny perquè el tirant $DE$ divideixi el costat $AB$ de manera que el segment superior $AD$ mesuri exactament el doble que el segment inferior $DB$, quant mesurarà la longitud de la barra $DE$ en aquest nou cas?
3. c) Dedueix una fórmula algebraica que expressi la longitud de la barra horitzontal $DE$ (a la qual anomenarem $y$) en funció de la distància $AD$ (a la qual anomenarem $x$), i indica entre quins valors té sentit geomètric que variï $x$.

En una estructura de disseny per a un pont de vianants, s'hi han col·locat tres bigues de reforç horitzontals que són paral·leles entre si. Les bigues estan unides per dos tirants d'acer oblics, com es mostra en la figura. Sabent que els segments determinats en el primer tirant mesuren $x$ i $x + 2$ metres, i els segments corresponents en el segon tirant mesuren $3$ i $4$ metres, calcula el valor de $x$ i la longitud total del primer tirant.

Un artista urbà vol projectar l'ombra d'una escultura vertical de $2,5$ metres d'altura sobre una paret que està a una distància determinada. Per a fer-ho, col·loca un focus de llum a terra a $6$ metres de l'escultura. Si l'ombra projectada a la paret fa exactament $4$ metres d'altura, a quina distància es troba la paret respecte del focus de llum? Si l'artista apropa el focus $2$ metres cap a l'escultura, quant mesurarà la nova ombra?

En un parc d'aventures, un cable de tirolina uneix la part superior de dues torres verticals. Una barra de seguretat de $3$ metres d'altura es col·loca perpendicular a terra, de manera que toca exactament el cable de la tirolina. Si la distància des de la base de la torre petita fins a la barra és de $12$ metres i la distància des de la barra fins a l'ancoratge del cable a terra és de $8$ metres, calcula l'altura de la torre petita. Si la torre gran està a $30$ metres de l'ancoratge de terra, quina és la seva altura?

Per a mesurar la profunditat d'un pou circular de $2$ metres de diàmetre, una persona de $1,70$ metres d'altura es situa a $1,2$ metres de la vora del pou. Des d'aquesta posició, els seus ulls (situats a $1,60$ metres de terra) veuen alineats la vora del pou amb l'extrem inferior de la paret oposada. Dibuixa un esquema de la situació i calcula la profunditat del pou utilitzant el teorema de Tales.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un fuster està construint una estanteria de disseny amb forma de triangle rectangle. Hi ha col·locat dues lleixes horitzontals paral·leles a la base. La base de l'estanteria fa $1,2$ metres. La primera lleixa està situada a una altura de $40$ cm respecte a la base i fa $90$ cm de llarg. La segona lleixa fa $60$ cm de llarg. A quina altura respecte a la base es troba la segona lleixa? Quina és l'altura total de l'estanteria? (Expressa tots els resultats en centímetres).

Dos edificis situats al mateix carrer projecten ombres que es superposen en un moment donat del dia. L'edifici A té una altura de $18$ metres i projecta una ombra de $12$ metres. L'edifici B està situat darrere de manera que la seva ombra acaba exactament en el mateix punt que la de l'edifici A. Si la distància entre la base de l'edifici A i el final de la seva ombra és de $12$ metres, i la distància entre els dos edificis és de $10$ metres, calcula l'altura de l'edifici B.

En un mapa a escala $1:2.500$, un terreny amb forma de trapezi rectangle té una base major de $8$ cm i una base menor de $5$ cm. Si en la realitat l'altura d'aquest terreny és de $100$ metres, calcula:

1. La longitud real de les bases en metres.

2. La mesura de l'altura al mapa en centímetres.

3. Si tracem una línia paral·lela a les bases que divideixi l'altura del mapa exactament en dues parts iguals, quant mesurarà aquesta nova línia al mapa?

Calcula el valor dels segments $y$ i $z$ en la configuració de rectes paral·leles tallades per secants següent. Es sap que la relació entre els segments superiors és $x / 2 = 5 / 4$. Utilitza les dades proporcionades a la imatge per a plantejar les proporcions necessàries basant-te en el teorema de Tales.

Per mesurar l'alçària de la torre del campanar del seu poble durant una sortida de camp, dos grups de 2n d'ESO proposen dos procediments basats en la semblança:

• Mètode 1 (Ombra solar): Claven una vara vertical d'$1,5\text{ m}$ a terra, mesuren la seva ombra ($0,9\text{ m}$) i l'ombra que projecta la torre ($15\text{ m}$) a les $11:30$ del matí.

• Mètode 2 (Mirall a terra): Situen un mirall pla horitzontal a terra a $20\text{ m}$ del peu de la torre. Una alumna que té una alçada fins als ulls d'$1,60\text{ m}$ s'allunya $1,28\text{ m}$ del mirall en línia recta fins a veure la cúspide de la torre reflectida al centre del mirall (sabent que l'angle amb què incideix la llum al mirall és igual a l'angle amb què surt reflectida).

1. a) Fes els càlculs que efectuaria cada grup i comprova si tots dos mètodes ofereixen un resultat coincident per a l'alçària del campanar.
2. b) Explica el fonament geomètric del mètode del mirall demostrant per què els dos triangles que intervenen són semblants i com es relaciona amb la posició de Tales.
3. c) Si l'activitat s'hagués de fer obligatòriament un dia molt ennuvolat sense ombres definides, o bé en una plaça tancada on els edificis contigus tapen l'ombra de la torre, quin dels dos mètodes triaries? Justifica els avantatges, limitacions i inconvenients de cadascun en situacions reals.

En una prova escrita es planteja el problema següent: «En un triangle $ABC$, el costat $AB$ mesura $15\text{ cm}$. Es traça un segment interior $DE$ paral·lel al costat $BC$ (amb $D$ a $AB$ i $E$ a $AC$), de tal manera que $AD = 6\text{ cm}$ i la base $BC = 20\text{ cm}$. Calcula la longitud del segment paral·lel $DE$».

Dos estudiants discuteixen sobre la manera correcta de resoldre'l:

• L'Elena afirma: «Pel Teorema de Tales, els segments són proporcionals. Com que el segment inferior és $DB = 15 - 6 = 9\text{ cm}$, la proporció és $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, és a dir, $\frac{6}{9} = \frac{DE}{20}$, la qual cosa dóna $DE \approx 13,33\text{ cm}$».

• En Pablo rebat: «La teva fórmula està malament perquè els costats paral·lels pertanyen a triangles complets, no a segments tallats en una transversal. La proporció correcta és $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$, és a dir, $\frac{6}{15} = \frac{DE}{20}$, la qual cosa dóna $DE = 8\text{ cm}$».

1. a) Justifica de manera rigorosa qui té raó i explica amb precisió l'error conceptual de la persona equivocada en confondre els segments de les transversals amb les bases paral·leles.
2. b) Per defensar l'Elena, un tercer alumne diu: «La fórmula de l'Elena sí que funciona si $D$ es col·loca just al punt mitjà d'$AB$». Comprova què passaria amb la fórmula de l'Elena si $AD = 7,5\text{ cm}$ i $DB = 7,5\text{ cm}$, calcula el valor que prediu i argumenta per què aquest resultat demostra geomètricament que la fórmula continua sent un disbarat.
3. c) Si es defineix la raó de semblança com a $r = \frac{AD}{AB}$, escriu la relació general correcta que permet calcular la longitud del segment $DE$ a partir de la base $BC$ i d'$r$.