Números primos y descomposición factorial
$13$ amigos no pueden ponerse en filas iguales de más de una persona: solo caben todos en una fila de $13$, o cada uno solo. En cambio $12$ se puede organizar de mil formas: $2 \times 6$, $3 \times 4$, $1 \times 12$... La diferencia está en sus divisores.
Números primos y compuestos
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$…
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$ personas).
- a) ¿Por qué no puede hacerlo con $13$ alumnos de ninguna forma que no sea una única fila de $13$?
- b) ¿Qué tipo de número es el $13$ según sus divisores?
Clasifica los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):…
Clasifica los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):
$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$
| Números Primos | Números Compuestos |
|---|---|
La criba de Eratóstenes
Hace más de $2.000$ años, Eratóstenes ideó un "filtro" para encontrar todos los primos hasta un número dado: tachas los múltiplos de cada primo que encuentras, y lo que sobrevive es primo.
La criba como algoritmo
Un algoritmo es una lista precisa de instrucciones. Sigue esta versión para encontrar los primos hasta 30:
-
Escribe los números del 2 al 30. El 1 queda fuera porque no es primo.
-
Rodea el menor número que todavía no esté rodeado ni tachado.
-
Tacha sus múltiplos mayores que él, sin tachar el propio número rodeado.
-
Repite los pasos 2 y 3 hasta que todos los números estén rodeados o tachados. Los rodeados son los primos.
En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número…
En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número primo con un cartel naranja. Escribe la lista de todos los números de puesto que deberían llevar el cartel naranja.
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explica por qué el número…
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explica por qué el número $1$ no se considera primo y por qué el número $9$ se queda atrapado en el filtro de los números compuestos.
En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$. Razona…
En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$.
Razona por qué no hace falta comprobar si es divisible por $11$ o por otros números primos mayores. Aplica esta idea para comprobar si el número $97$ es primo.
Descomposición factorial
Todo número compuesto se puede escribir como un producto de números primos: es como encontrar los "ladrillos" con los que está hecho.
Descompón en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y expresa el resultado como un producto de potencias.
Descompón en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y expresa el resultado como un producto de potencias.
Realiza la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Expresa el resultado final utilizando…
Realiza la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Expresa el resultado final utilizando potencias cuando sea posible:
- a) $180$
- b) $252$
- c) $450$
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$. Factoriza los siguientes números…
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$.
Factoriza los siguientes números utilizando este truco para ahorrar tiempo en la raya vertical:
- a) $1.200$
- b) $4.500$
- c) $18.000$
Divisores a partir de la factorización
Una vez tienes la descomposición, puedes encontrar todos los divisores combinando los factores, sin tener que probar uno a uno.
Encuentra todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifica tu respuesta…
Encuentra todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifica tu respuesta basándote en la definición de estos tipos de números.
Halla todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestra el proceso de combinación de factores: a) $28$ b) $42$
Halla todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestra el proceso de combinación de factores:
- a) $28$
- b) $42$