Exercicis: Divisibilitat

En una plataforma de streaming, les sèries s'agrupen en temporades. Si una sèrie té un total de $42$ episodis, indica quines de les afirmacions següents són verdaderes i quines són falses, raonant breument la teva resposta:

1. a) El nombre $6$ és divisor de $42$.
2. b) $42$ és múltiple de $5$.
3. c) $42$ és divisible entre $14$.

Calcula mentalment i escriu a la teva llibreta:

1. a) Els cinc primers múltiples de $12$.
2. b) Tots els divisors del nombre $24$.
3. c) Els múltiples de $7$ compresos entre $30$ i $60$.

Observa els nombres que apareixen al panell següent i classifica'ls en nombres primers o nombres compostos.

Un videojoc requereix que introdueixis un codi de quatre xifres per desbloquejar un nivell: $3,45\_$. Ajuda el jugador a trobar l'últim dígit perquè el nombre compleixi les condicions següents:

1. a) Que el nombre sigui divisible per $2$ i per $5$ alhora.
2. b) Que el nombre sigui divisible per $3$, però no per $2$.
3. c) Que sigui un múltiple de $9$.

Fes la descomposició en factors primers dels nombres naturals següents. Recorda escriure el resultat final com un producte de potències:

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calcula el màxim comú divisor (m.c.d.) i el mínim comú múltiple (m.c.m.) dels següents parells de nombres:

1. a) $10$ i $15$
2. b) $20$ i $30$
3. c) $8$ i $12$

Dues llums d'un teclat "gamer" parpellegen de manera diferent. La llum blava s'encén cada $6$ segons i la llum taronja cada $9$ segons. Si totes dues s'han encès alhora ara mateix, quants segons passaran fins que tornin a coincidir enceses per primera vegada?

Marta té $24$ adhesius d'estels i $16$ adhesius de planetes. Vol fer sobres de regal iguals (amb el mateix nombre d'estels i el mateix nombre de planetes a cadascun) sense que li sobri cap adhesiu.

Quin és el nombre màxim de sobres que pot preparar? Quants adhesius de cada tipus hi haurà a cada sobre?

Marcos ha de comprovar en un examen si el nombre $3.522$ és divisible per $6$. En el seu desenvolupament escriu el següent: «Com que l'última xifra és $2$, el nombre és divisible per $2$. Tanmateix, com que aquesta última xifra ($2$) no és divisible per $3$, el nombre $3.522$ no pot ser divisible per $6$».

1. a) Localitza l'error conceptual que comet Marcos en comprovar la divisibilitat per $3$ i explica per què el seu raonament és incorrecte.
2. b) Aplica de manera correcta els criteris de divisibilitat del $2$ i del $3$ per determinar si $3.522$ és o no divisible per $6$.

Una impremta municipal de Jaén ha produït $1.342$ calendaris i els treballadors els han d'empaquetar en caixes de $4$ unitats exactes sense que en sobri cap.

1. a) Sense fer divisions escrites ni aplicar encara la regla completa, fes una estimació ràpida: sabent que $1.300$ i $40$ són múltiples de $4$, raona si consideres raonable que sobri algun calendari.
2. b) Aplica el criteri de divisibilitat per $4$ fixant-te exclusivament en les dues últimes xifres per comprovar la teva estimació.
3. c) En vista del resultat, indica quants calendaris sobren després d'omplir el nombre màxim de caixes completes de $4$, o bé quants calendaris faltarien per completar una caixa més.

Un programador està dissenyant un codi d'accés de quatre xifres. El codi segueix el format $35A2$, on $A$ és una xifra desconeguda. Perquè el codi sigui vàlid, el nombre ha de ser divisible per $3$ i per $4$ simultàniament.

Determina tots els possibles valors que pot prendre la xifra $A$ i escriu els nombres complets resultants.

En una convenció de videojocs, es vol organitzar els participants en equips. Tenim un codi de seguretat per a l'accés que és un nombre de quatre xifres de la forma $4A2B$.

Perquè el codi sigui vàlid, ha de complir dues condicions:

1. a) Ha de ser divisible per $3$.
2. b) Ha de ser divisible per $11$.

Troba tots els valors possibles per a les xifres $A$ i $B$.

Calcula el nombre de divisors totals que té el nombre $360$ sense necessitat d'escriure'ls tots. Per fer-ho:

1. a) Fes la seva descomposició en factors primers fent servir potències.
2. b) Aplica la propietat del producte dels exponents incrementats en una unitat.
3. c) Indica si el nombre $360$ és un quadrat perfecte raonant la teva resposta a partir dels exponents de la seva descomposició.

Una empresa de disseny d'interiors té dos rotllos de tires LED de colors: un de llum blava que mesura $120$ metres i un altre de llum càlida que mesura $156$ metres. Volen tallar tots dos rotllos en trossos de la mateixa longitud, la més gran possible, sense que sobri gens de material.

1. a) Quant ha de mesurar cada tros?
2. b) Quants trossos de cada color obtindran en total?

Tres canals de streaming comencen a emetre contingut especial avui a les 10:00 del matí.

• El canal A emet un sorteig cada $18$ hores.

• El canal B emet una entrevista cada $24$ hores.

• El canal C emet un torneig cada $30$ hores.

Quants dies han de passar com a mínim perquè els tres esdeveniments tornin a coincidir en el mateix horari? A quina hora i quin dia de la setmana passarà si avui és dilluns?

Troba un nombre natural que compleixi simultàniament les condicions següents:

1. Està comprès entre $200$ i $250$.

2. És múltiple de $13$.

3. En dividir-lo per $2$ i per $3$ dóna una divisió exacta.

Observa els nombres poligonals següents que representen els nombres pentagonals. Els primers termes són $1, 5, 12, 22...$

1. a) Dibuixa a la teva llibreta la disposició de punts per al cinquè nombre pentagonal.
2. b) Seguint la sèrie, quin és el valor numèric del cinquè i el sisè nombre pentagonal?
3. c) Comprova si el desè nombre pentagonal ($145$) és divisible per $3$, per $5$ i per $11$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sabent que el producte de dos nombres és $2160$ i que el seu màxim comú divisor (m.c.d.) és $12$:

1. a) Calcula el mínim comú múltiple (m.c.m.) d'aquests nombres fent servir la relació entre el m.c.d. i el m.c.m.
2. b) Si un dels nombres és $60$, quin és l'altre nombre?
3. c) Fes la descomposició factorial de tots dos nombres per comprovar que els resultats dels apartats anteriors són correctes.

Un nombre natural $N$ compleix simultàniament les següents tres propietats sobre els seus divisors i factors:

1. En la seva descomposició en factors primers només apareixen el $2$ i el $3$ (tots dos amb exponent més gran que zero).

2. El nombre total de divisors de $N$ és exactament $9$.

3. $N$ és un quadrat perfecte.

1. a) Utilitza la fórmula del nombre de divisors i la propietat dels exponents dels quadrats perfectes per deduir de manera justificada quins han de ser els exponents del $2$ i del $3$ en la factorització de $N$.
2. b) Reconstrueix el nombre $N$, calcula el seu valor i escriu la llista completa dels seus $9$ divisors per verificar que compleix totes les condicions.

El servei de lloguer de bicicletes públiques d'una ciutat espanyola identifica cada vehicle mitjançant un codi de quatre xifres amb l'estructura $4X6Y$, on $X$ i $Y$ són dígits desconeguts.

Per motius de manteniment:

• Les bicicletes van a revisió mensual al taller si el seu codi és divisible per $8$ (les tres últimes xifres formen un múltiple de $8$).

• A més, entren en el torn especial de desinfecció setmanal si el seu codi és divisible per $11$.

1. a) Aplica el criteri de divisibilitat per $11$ per trobar quin valor ha de tenir la suma de les xifres $X + Y$.
2. b) Tenint en compte que per ser divisible per $8$ la xifra $Y$ ha de ser parella, analitza les possibles parelles de dígits $(X, Y)$ i troba l'únic codi $4X6Y$ que permet a la bicicleta passar tant la revisió mensual com la desinfecció setmanal.

Un influencer famós vol protegir l'accés al seu compte d'edició de vídeo amb un codi PIN de quatre xifres de la forma $5X4Y$. Per no oblidar-lo, ha memoritzat les condicions següents basades en la divisibilitat:

• El nombre és divisible per $4$.

• El nombre també és divisible per $9$.

• La xifra de les unitats ($Y$) és més gran que la xifra de les unitats de miler.

Troba tots els possibles codis PIN que compleixen aquestes condicions.

En l'escenari principal d'un festival de música, hi ha tres sistemes d'il·luminació robòtica. El primer sistema emet un centelleig blanc cada $18$ segons, el segon un centelleig blau cada $24$ segons i el tercer un centelleig taronja cada $30$ segons.

A les $21:00$ hores els tres sistemes coincideixen per primera vegada. Quantes vegades tornaran a coincidir exactament els tres centelleigs abans que el concert finalitzi a les $22:25$ hores?

Una empresa de logística ha d'organitzar tres tipus de paquets d'ajuda en contenidors de transport. Tenen $144$ caixes de mantes, $120$ caixes d'aliments no pereceders i $84$ caixes de kits d'higiene.

Volen carregar el màxim nombre de contenidors iguals, de manera que cada contenidor tingui la mateixa quantitat de caixes de cada tipus i no sobri cap caixa al magatzem.

1. Quants contenidors es podran enviar?

2. Quina quantitat de caixes de cada tipus hi haurà a cada contenidor?

Un nombre natural $N$ té la descomposició en factors primers següent: $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

Sabem que el nombre total de divisors de $N$ és exactament $24$.

1. Calcula el valor de l'exponent $a$.

2. Determina el valor numèric de $N$.

3. Escriu tots els divisors de $N$ que siguin múltiples de $15$ però no de $2$.

Un ajuntament vol pavimentar una plaça rectangular de $45$ metres de llarg per $24$ metres d'amplada fent servir rajoles quadrades de pedra. L'arquitecte vol que les rajoles siguin tan grans com sigui possible i que no se n'hagi de retallar cap.

1. Quina ha de ser la mida del costat de cada rajola?

2. Si per motius de pressupost decideixen fer servir rajoles de la meitat d'aquesta mida, quantes rajoles necessitaran ara per cobrir tota la plaça?

El mecanisme d'un rellotge antic utilitza dues rodes dentades que engranen entre si. La roda $A$ té $54$ dents i la roda $B$ té $36$ dents. Si posem una marca vermella en el punt on es toquen les dents en aquest moment:

1. Quantes dents de la roda $A$ han de passar perquè les marques tornin a coincidir per primera vegada?

2. Quantes voltes haurà fet cada roda en aquest instant?

Es sap que un nombre $X$ és múltiple de $12$ i de $15$ simultàniament. A més, $X$ té exactament $12$ divisors naturals.

1. Utilitzant la descomposició factorial, dedueix quin és el valor de $X$. (Pista: raona sobre els exponents de la descomposició).

2. Justifica si el nombre $X+1$ és un nombre primer o compost.

Tres satèl·lits artificials orbiten al voltant de la Terra. El primer completa una òrbita cada $90$ minuts, el segon cada $2$ hores i el tercer cada $105$ minuts. Si a les $12:00$ del migdia es troben alineats sobre el meridià de Greenwich:

1. A quina hora exacta tornaran a estar alineats per primera vegada?

2. Quantes òrbites haurà completat el satèl·lit més lent en aquest temps?

Per esbrinar quin és el menor nombre enter positiu $k$ pel qual cal multiplicar $N = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3$ perquè el resultat sigui un quadrat perfecte, dues alumnes proposen camins diferents:

• Mètode de Laura: Multiplica tots els factors amb calculadora per obtenir el valor numèric complet de $N$ i després va provant de multiplicar per $2, 3, 4\dots$ fins a comprovar amb la tecla d'arrel quadrada si el resultat és exacte.

• Mètode d'Irene: Examina directament la paritat dels exponents en la descomposició en factors primers de $N$ per completar aquells que no siguin parells.

1. a) Compara ambdós mètodes i justifica quin és el més adequat i generalitzable, explicant la propietat de la factorització factorial que defineix els quadrats perfectes.
2. b) Aplica el mètode més eficient per calcular el valor exacte de $k$ i escriu la descomposició en factors primers del nou nombre $N \cdot k$.
3. c) Justifica, a partir de la fórmula del nombre total de divisors, per què el nombre $N \cdot k$ tindrà necessàriament una quantitat senar de divisors.

La companyia ferroviària Renfe implementa en els seus bitllets d'alta velocitat un sistema antifrau basat en un codi de control de sis xifres amb el format $2A4.5B2$, on $A$ i $B$ són dígits desconeguts.

Perquè el lector del torn d'accés doni per vàlid el bitllet, el codi ha de satisfer tres condicions simultànies:

1. El nombre ha de ser divisible per $6$.

2. El nombre ha de ser divisible per $11$.

3. La xifra $A$ ha de ser estrictament menor que la xifra $B$ ($A < B$).

1. a) Tradueix el criteri de divisibilitat per $6$ a una condició sobre la suma de les xifres i obtén els possibles valors que pot prendre la suma $A + B$.
2. b) Aplica el criteri de divisibilitat per $11$ (diferència entre la suma de xifres en posició senar i la suma en posició parella) per deduir quina relació matemàtica exacta hi ha entre $A$ i $B$.
3. c) Combina totes les conclusions anteriors juntament amb la condició $A < B$ per determinar raonadament tots els codis de bitllet vàlids que pot generar la màquina.