Sistemas de ecuaciones
En una papelería, dos bolígrafos y tres gomas cuestan 4 €; dos bolígrafos y una goma cuestan 2 €. ¿Cuánto vale cada cosa? Hay dos incógnitas (el bolígrafo y la goma) y dos pistas. Una sola ecuación no basta: necesitas resolverlas a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones.
Qué es un sistema
Comprobar una solución es sustituir en las dos ecuaciones, no solo en una. Si $x = 0{,}5$ e $y = 1$: $2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 1 = 4$ ✓ y $2 \cdot 0{,}5 + 1 = 2$ ✓.
Significado gráfico
Cada ecuación de este tipo, con dos incógnitas, es una recta (todos sus puntos solución). La solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cortan. Mueve las rectas y observa:
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:…
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Comprueba, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación: "En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de…
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:
"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de patatas ($y$) nos han cobrado $5$ €. Si compramos un refresco y una bolsa de patatas, el precio es de $3$ €."
(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).
Método de sustitución
Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Va especialmente bien cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente $1$.
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:…
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Método de igualación
Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas las dos expresiones que obtienes.
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$Método de reducción
Multiplicas las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas (o restarlas), una de las incógnitas desaparezca.
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía ha comprado en la papelería $2$ bolígrafos y $3$ gomas de borrar por un total de $4$ €. Pedro ha comprado $2$ bolígrafos y $1$ goma de borrar por $2$ €. Si $x$ es…
Lucía ha comprado en la papelería $2$ bolígrafos y $3$ gomas de borrar por un total de $4$ €. Pedro ha comprado $2$ bolígrafos y $1$ goma de borrar por $2$ €.
Si $x$ es el precio de un bolígrafo e $y$ el de una goma, el sistema que representa la situación es:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$Halla el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).
Plantear problemas con sistemas
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Elige dos incógnitas y escribe qué significa cada una ($x$ = precio del bolígrafo, $y$ = precio de la goma).
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Traduce cada dato del enunciado en una ecuación distinta.
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Resuelve por el método que más te convenga y comprueba en el enunciado.
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas…
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.
- a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesitas.
- b) Comprueba si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su…
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.
Calcula las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.