Exercicis: Sistemes d'equacions

En un videojoc de rol, els punts d'experiència de dues habilitats, Força ($x$) i Màgia ($y$), han de complir les condicions del sistema d'equacions següent:

Comprova, fent les operacions necessàries, quina d'aquestes parelles de valors és la solució correcta del sistema perquè el personatge pugui pujar de nivell:

1. a) $x = 10, y = 5$
2. b) $x = 8, y = 7$

Tradueix al llenguatge algebraic i escriu el sistema d'equacions corresponent a la situació següent:

"En una cafeteria, per dos refrescos ($x$) i una bossa de patates ($y$) ens han cobrat $5$ €. Si comprem un refresc i una bossa de patates, el preu és de $3$ €."

(No cal resoldre'l, només plantejar el sistema).

Resol el sistema següent pel mètode de substitució. Fixa't que a la segona equació la incògnita $y$ ja està aïllada, la qual cosa facilita el procés:

Resol pel mètode d'igualació el sistema següent. Per fer-ho, iguala les dues expressions que representen el valor de $x$:

Resol el sistema següent utilitzant el mètode de reducció. Observa que la incògnita $y$ té coeficients oposats ($+1$ i $-1$), de manera que pots sumar les dues equacions directament per eliminar-la:

Lucía ha comprat a la papereria $2$ bolígrafs i $3$ gomes d'esborrar per un total de $4$ €. Pedro ha comprat $2$ bolígrafs i $1$ goma d'esborrar per $2$ €.

Si $x$ és el preu d'un bolígraf i $y$ el d'una goma, el sistema que representa la situació és:

Troba el preu de cada article utilitzant el mètode de reducció (restant totes dues equacions).

En una granja petita hi ha un total de $12$ animals entre gallines ($x$) i conills ($y$). Si comptem les potes de tots ells, hi ha un total de $34$ potes. El sistema d'equacions que descriu aquesta situació és:

Resol el sistema pel mètode que prefereixis per esbrinar quantes gallines i quants conills hi ha a la granja.

Observa detingudament els coeficients de les incògnites en el següent sistema d'equacions lineals:

1. a) Si haguessis de triar entre els mètodes de substitució, igualació i reducció, quin consideraries més directe i còmode per resoldre aquest sistema? Justifica la teva resposta fixant-te en les característiques dels coeficients.
2. b) Resol el sistema aplicant el mètode que has defensat a l'apartat anterior i comprova formalment que la parella $(x, y)$ obtinguda satisfà totes dues equacions alhora.

Volem dissenyar un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites la solució única del qual sigui exactament la parella $(x = 4, \; y = -2)$.

1. a) Escriu una primera equació de la forma $ax + by = c$ (amb $a$ i $b$ nombres enters diferents de zero) que es compleixi per a aquests valors. Mostra la comprovació numèrica de com obtens el terme independent $c$.
2. b) Inventa una segona equació lineal que també admeti aquesta solució, però assegurant-te que no sigui equivalent (proporcional) a la primera per evitar que les rectes siguin coincidents.
3. c) Resol el teu sistema resultant per demostrar que, en efecte, l'única solució compartida és $(4, -2)$.

En un videojoc d'estratègia, per desbloquejar una millora necessites recollir gemmes blaves i gemmes vermelles. Sabem que el triple de gemmes blaves més el doble de gemmes vermelles suma un total de 34 d'energia. A més, la diferència entre el nombre de gemmes blaves i vermelles és de només 3 unitats.

1. a) Planteja un sistema d'equacions per esbrinar quantes gemmes de cada tipus necessites.
2. b) Comprova si la parella de valors $x = 8, y = 5$ (on $x$ són les blaves i $y$ les vermelles) és la solució del sistema.

Resol el sistema d'equacions següent utilitzant el mètode de substitució. Recorda que és aconsellable aïllar la incògnita que tingui el coeficient més senzill:

Observa la figura següent composta per dos rectangles amb propietats diferents. El rectangle A té un perímetre de $22\text{ cm}$. El rectangle B és tal que la seva base és el doble que la del rectangle A i la seva altura és el triple que la del rectangle A, sumant un perímetre total de $52\text{ cm}$.

Calcula les dimensions $x$ (base) i $y$ (altura) del rectangle A plantejant i resolent un sistema pel mètode d'igualació.

A la cafeteria de l'institut, un grup d'amics ha pagat $15\text{ €}$ per 4 refrescos i 2 entrepans. L'endemà, un altre grup va pagar $17,50\text{ €}$ per 3 refrescos i 4 entrepans. Utilitza el mètode de reducció per trobar el preu d'un refresc i el d'un entrepà.

Troba la solució del sistema d'equacions següent mitjançant el mètode que consideris més apropiat. Abans de resoldre'l, observa si és necessari simplificar les expressions treient els parèntesis:

L'edat d'una mare és actualment el triple que la del seu fill. Tanmateix, d'aquí a 12 anys, l'edat de la mare serà solament el doble que la del seu fill. Quina edat tenen tots dos actualment? Utilitza una taula per organitzar les dades de les edats abans de plantejar el sistema.

Per organitzar un festival benèfic s'han venut dos tipus d'entrades: infantils a $4\text{ €}$ i d'adults a $7\text{ €}$. En acabar l'esdeveniment, es sap que hi han après un total de 240 persones i que la recaptació total ha estat de $1350\text{ €}$. Quants nens i quants adults van assistir al festival?

Dos ciclistes, l'Ana i en David, es troben a una distància de $45\text{ km}$. L'Ana surt des del punt A a una velocitat constant de $12\text{ km/h}$ i en David surt al mateix temps des del punt B a trobar l'Ana a $18\text{ km/h}$.

Si $x$ és el temps que triguen a trobar-se i $y$ és la distància meva/recorreguda per l'Ana:

1. a) Planteja un sistema d'equacions que relacioni el temps i l'espai de tots dos.
2. b) Quant de temps triguaran a creuar-se i a quina distància del punt A passarà?

En Marcos intenta resoldre pel mètode de reducció el següent sistema d'equacions lineals:

Per eliminar la incògnita $y$, en Marcos decideix multiplicar la segona equació per $3$ i escriu a la seva llibreta el següent:

A continuació, suma membre a membre totes dues files obtenint $17x = 16$, i conclou que «el sistema dóna una solució fraccionària molt rara i segur que l'enunciat té una errada».

1. a) Localitza i explica de manera raonada l'error matemàtic que ha comès en Marcos en transformar la segona equació.
2. b) Quina propietat fonamental de les igualtats ha infringit en Marcos en el seu procediment?
3. c) Corregeix el desenvolupament complet a partir del pas erroni, resol el sistema i troba la solució exacta $(x, y)$.

En una fruiteria de barri de València, el quilogram de taronges té un preu inferior al quilogram de maduixes. Un client compra $3\text{ kg}$ de taronges i $2\text{ kg}$ de maduixes, i abona a la caixa un total d'$11\text{ €}$. A continuació, una altra clienta adquireix $2\text{ kg}$ de taronges i $4\text{ kg}$ de maduixes per un import de $18\text{ €}$.

1. a) Abans d'escriure cap equació, fes una estimació raonada: si el quilo de taronges costés $4\text{ €}$, podria tenir sentit el tiquet del primer client? Esperes que el preu del quilo de taronges sigui major o menor que $2\text{ €}$? Justifica les teves estimacions prèvies.
2. b) Planteja el sistema d'equacions que modelitza totes dues compres, resol-lo pel mètode que prefereixis i troba el preu exacte del quilo de cada producte.
3. c) Comprova si els valors obtinguts confirmen les teves estimacions inicials i reflexiona sobre si els preus resultants són coherents amb la compra habitual en un mercat.

Resol el sistema d'equacions lineals següent simplificant prèviament les dues expressions. Per trobar la solució definitiva, utilitza el mètode de reducció doble (eliminant una incògnita i després l'altra):

En una botiga d'informàtica, un usuari compra 3 teclats mecànics i 2 ratolins inalàmbrics per un total de $135$ €. L'endemà, aprofitant una oferta, compra 2 teclats i 4 ratolins per $111$ €. Tanmateix, l'oferta consistia que els teclats tenien un $10\%$ de descompte i els ratolins un $20\%$ sobre el seu preu original.

Calcula el preu original de cada article plantejant un sistema d'equacions.

Troba les dimensions d'un rectangle sabent que el seu perímetre mesura $40$ cm. Si es tripliqués la seva base i es reduís la seva altura a la meitat, el perímetre passaria a ser de $70$ cm. Un cop trobades la base ($x$) i l'altura ($y$), calcula l'àrea del rectangle original.

Un laboratori químic necessita preparar $10$ litres d'una solució àcida al $25\%$. Per fer-ho, disposa de dues garrafes: una amb una concentració del $15\%$ d'àcid i una altra amb una concentració del $40\%$. Quina quantitat de litres ha de barrejar de cada garrafa per obtenir la solució desitjada?

La suma de les dues xifres d'un nombre és $12$. Si invertim l'ordre de les seves xifres, obtenim un nou nombre que és $18$ unitats més gran que l'original. Planteja un sistema d'equacions per trobar aquest nombre.

(Pista: Un nombre de dues xifres s'escriu com a $10x + y$).

Dos ciclistes, l'Elena i en Marco, estan a una distància de $36$ km. Si avancen l'un cap a l'altre, triguen $45$ minuts a trobar-se. Si avancen en el mateix sentit (l'Elena perseguint en Marco), l'Elena triga $3$ hores a atrapar-lo.

Calcula la velocitat de cada ciclista en km/h plantejant un sistema d'equacions.

Resol el sistema següent mitjançant el mètode que consideris més oportú, després d'eliminar els parèntesis i agrupar termes:

Un cop resolt, indica si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible.

Calcula el cost de pintar la superfície lateral d'un tronc de piràmide quadrangular regular que té unes bases que fan $4\text{ m}$ i $2\text{ m}$ de costat i una alçària d'$1{,}5\text{ m}$, sabent que el preu és de $85\text{ €/m}^2$.

En una ciutat espanyola, el servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques cobra una tarifa formada per una quantitat fixa per desenganxament del vehicle més una tarifa fixa per cada minut de trajecte.

L'Alejandro va fer un recorregut de $15\text{ minuts}$ i el sistema li va cobrar $1,90\text{ €}$. La Beatriz va utilitzar una altra bicicleta del mateix tipus durant $25\text{ minuts}$ i va pagar en total $2,70\text{ €}$.

1. a) Modela la situació mitjançant un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites, definint explícitament quina magnitud representa cada incògnita i en quines unitats es mesura cadascuna.
2. b) Resol el sistema per determinar quant costa desenganxar una bicicleta i quin és el cost per cada minut de circulació.
3. c) Una tercera usuària, la Clara, disposa d'un saldo exacte de $5\text{ €}$ al seu moneder de l'aplicació. Quin és el nombre màxim enter de minuts que podrà pedalar en un únic trajecte sense quedar-se sense saldo suficient? Justifica la teva deducció interpretant el resultat.

Considera el següent sistema d'equacions lineals, en el qual apareix un paràmetre desconegut $k$:

1. a) Sense resoldre el sistema per tempteig, dedueix raonadament quin valor ha de prendre $k$ perquè les dues rectes que representen geomètricament el sistema siguin paral·leles i, per tant, el sistema no posseeixi cap solució (sigui un sistema incompatible).
2. b) Un estudiant afirma: «Si substituïm el terme independent $7$ per un altre nombre adequat, mantenint el valor de $k$ que acabes de trobar, el sistema passaria a tenir infinites solucions». Determina si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa, explicant quina condició geomètrica i algebraica han de complir les dues equacions perquè passi i quin nombre hauria de substituir exactament el $7$.
3. c) Si s'assigna el valor $k = 1$, quantes solucions tindrà el sistema? Justifica la teva resposta fixant-te exclusivament en la relació de proporcionalitat entre els coeficients de les incògnites, sense necessitat de calcular la solució explícita.