Exercicis: Teorema de Pitàgores

Una escala de bombers es recolza a la façana d'un edifici. La base de l'escala està a $3\text{ m}$ de la paret i arriba a una altura de $4\text{ m}$ a la façana. Calcula la longitud total de l'escala.

Un màstil de telecomunicacions està subjectat per un cable tensat des del seu extrem superior fins a un punt a terra. El cable mesura $13\text{ m}$ i el màstil té una altura de $12\text{ m}$. Determina a quina distància de la base del màstil està ancorat el cable a terra.

Les dimensions d'una pantalla d'ordinador rectangular són $32\text{ cm}$ d'amplada i $24\text{ cm}$ d'altura. Calcula la longitud de la seva diagonal per saber la mida real de la pantalla.

Una plaça té forma de quadrat amb un costat de $50\text{ m}$. Si decideixes creuar-la en línia recta des d'una cantonada fins a la cantonada oposada, quina distància recorreràs?

Per construir un estel amb forma de rombe, s'han creuat dues varetes de fusta que mesuren $60\text{ cm}$ i $80\text{ cm}$. Calcula la longitud de la vora exterior de l'estel (el costat del rombe).

Un senyal de trànsit té forma de triangle isòsceles. La seva base mesura $60\text{ cm}$ i cadascun dels dos costats iguals mesura $50\text{ cm}$. Calcula l'altura $h$ del senyal.

En el disseny de la coberta d'una nau industrial, l'estructura principal forma un triangle rectangle. L'altura relativa a la hipotenusa divideix aquesta en dos segments de $4\text{ m}$ i $9\text{ m}$. Aplica el teorema de l'altura per calcular la longitud d'aquesta altura.

En un parc, un parterre de flors té forma de triangle rectangle. La hipotenusa mesura $25\text{ m}$ i la projecció d'un dels catets sobre la hipotenusa mesura $9\text{ m}$. Utilitza el teorema del catet per calcular la longitud d'aquest catet.

Per calcular el costat d'un senyal de trànsit反射ant amb forma de romb les diagonals del qual mesuren $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$, en Mario escriu a la seva llibreta el següent:

1. a) Identifica i explica detalladament quin error conceptual ha comès en Mario en aplicar el teorema de Pitàgores directament a les mesures de les diagonals.
2. b) Corregeix el procediment justificant quin triangle rectangle s'ha de considerar i calcula la mesura real del costat del senyal.

Vols comprovar si un tauler rectangular de contraplacat podrà passar en diagonal pel buit d'una porta del teu institut que mesura $2{,}1\text{ m}$ d'alçària per $0{,}8\text{ m}$ d'amplària.

1. a) Sense fer el càlcul de l'arrel quadrada, fes una estimació raonada: explica per què la diagonal del buit ha de ser necessàriament més gran que $2{,}1\text{ m}$ i més petita que $2{,}9\text{ m}$, i proposa un valor aproximat amb un decimal justificant la teva deducció.
2. b) Calcula la longitud exacta de la diagonal aplicant el teorema de Pitàgores (arredonint a dos decimals) i comprova si la teva estimació prèvia era coherent amb les cotes establertes.

El tall transversal d'un canal de reg té forma de trapezi isòsceles. L'amplada a la part superior és de $8\text{ m}$, l'amplada al fons és de $2\text{ m}$ i la profunditat del canal és de $4\text{ m}$. Calcula la longitud dels costats inclinats $x$ del canal.

Un mosaic decoratiu està format per rajoles amb forma d'hexàgon regular de $10\text{ cm}$ de costat. Calcula l'apotema d'una d'aquestes rajoles.

Una parcel·la de terreny té forma de trapezi rectangle. El costat perpendicular a les bases mesura $12\text{ m}$, la base major mesura $30\text{ m}$ i la base menor mesura $25\text{ m}$. Calcula el perímetre total de la parcel·la.

Una canonada cilíndrica transporta aigua. El radi de la canonada és de $13\text{ cm}$ i la superfície de l'aigua forma una corda horitzontal de $24\text{ cm}$ d'amplada. Si el nivell de l'aigua està per sota del centre de la canonada, quina és la profunditat màxima de l'aigua $h$?

La teulada d'una casa té forma de triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. L'altura de la teulada respecte a la base horitzontal és de $6\text{ m}$ i la projecció d'un dels faldons (catet) sobre la base és de $8\text{ m}$. Calcula la longitud de l'altra projecció i la mida dels dos costats inclinats de la teulada.

Per transportar una barra de metall rígida, es disposa d'una caixa amb forma d'ortoedre (prisma rectangular) les dimensions de la qual són $80\text{ cm}$ de llargada, $60\text{ cm}$ d'amplada i $50\text{ cm}$ d'altura. Calcula la longitud màxima que pot tener la barra perquè hi quedi completament tancada a dins.

Una antena vertical està subjectada per dos cables ancorats a terra a costats oposats de la base. Un cable mesura $15\text{ m}$ i està ancorat a $9\text{ m}$ de la base. L'altre cable està ancorat a $16\text{ m}$ de la base. Calcula l'altura de l'antena i la longitud del segon cable.

El perímetre d'una piscina amb forma de rombe és de $52\text{ m}$ i una de les seves diagonals mesura $10\text{ m}$. Calcula la longitud de l'altra diagonal i l'àrea de la superfície de la piscina.

En un mapa topogràfic de l'Instituto Geográfico Nacional (IGN) a escala $1:25\,000$, la distància en línia recta entre l'estació del Puerto de Navacerrada i el refugi de La Bola del Mundo és de $7{,}6\text{ cm}$. Les corbes de nivell assenyalen que l'estació es troba a una altitud de $1860\text{ m}$ i el refugi a $2260\text{ m}$.

1. a) Modela el perfil del terreny mitjançant un triangle rectangle, indicant què representen els catets i la hipotenusa en la realitat física.
2. b) Calcula la distància geomètrica real en línia recta que separa ambdós punts a través del vessant, expressant el resultat en metres arrodonits a les unitats.
3. c) Si un senderista manté un ritme mitjà constant d'ascens d'$1{,}8\text{ km/h}$ al llarg d'aquesta línia recta, calcula quants minuts trigarà a completar la pujada.

El departament d'urbanisme d'un ajuntament delimitarà un parterre enjardinat amb forma de triangle rectangle. S'ha fixat com a condició que el perímetre total del parterre ha de ser exactament de $60\text{ m}$ i que la hipotenusa faci $26\text{ m}$.

1. a) Planteja una equació de segon grau que permeti trobar la longitud dels catets a partir de les dades donades, definint amb claredat què representa la incògnita $x$.
2. b) Resol l'equació plantejada per determinar les dimensions exactes d'ambdós catets.
3. c) Justifica algebraicament si seria possible dissenyar un altre parterre amb forma de triangle rectangle amb aquesta mateixa hipotenusa de $26\text{ m}$ però amb un perímetre total de $68\text{ m}$.

La Gran Piràmide de Gizeh té una base quadrada. Suposem que el costat de la seva base mesura $230\text{ m}$ i que la longitud d'una de les seves aristes laterals (des d'un vèrtex de la base fins al cim) és de $219\text{ m}$. Calcula l'altura $h$ de la piràmide.

En un jardí, es vol delimitar una zona amb forma de triangle rectangle. Es sap que les longituds dels seus tres costats són tres nombres enters parells consecutius. Planteja l'equació corresponent fent servir el teorema de Pitàgores i determina les longituds dels tres costats.

En una peça circular de fusta de $25\text{ cm}$ de radi, es fan dos talls rectes i paral·lels. Un dels talls té una longitud de $48\text{ cm}$ i l'altre de $40\text{ cm}$. Si tots dos talls es fan a costats oposats del centre del cercle, calcula la distància perpendicular que separa els dos talls.

Una habitació té forma d'ortoedre de dimensions $5\text{ m}$ de llargada, $4\text{ m}$ d'amplada i $3\text{ m}$ d'altura. Una aranya es troba en un cantó del sostre i vol arribar al cantó oposat del terra caminant per les parets, el sostre o el terra. Si l'aranya agafa el camí més curt possible, calcula aquesta distància. (Pista: imagina el desenvolupament pla de l'habitació).

En un triangle rectangle, l'altura sobre la hipotenusa mesura $12\text{ cm}$ i un dels catets mesura $15\text{ cm}$. Utilitzant els teoremes del catet i de l'altura, o el teorema de Pitàgores iterativament, calcula la longitud de la hipotenusa $a$ i de l'altre catet $c$.

Un pont té una estructura lateral en forma de trapezi escalè. Les bases horitzontals mesuren $40\text{ m}$ i $26\text{ m}$, i els costats oblics mesuren $13\text{ m}$ i $15\text{ m}$. Plantejant un sistema d'equacions amb el teorema de Pitàgores, calcula l'altura del trapezi.

Un logotip està format per un triangle isòsceles inscrit en una circumferència. La base del triangle mesura $16\text{ cm}$ i la seva altura relativa a la base mesura $18\text{ cm}$. Calcula el radi de la circumferència en què està inscrit el triangle.

Dues torres de $15\text{ m}$ i $20\text{ m}$ d'altura estan separades per una distància horitzontal desconeguda. Un ocell vola en línia recta des del cim de la torre de $15\text{ m}$ fins a la base de la torre de $20\text{ m}$, i recorre exactament $25\text{ m}$. Calcula la distància entre les bases de les torres. A continuació, si un altre ocell vola en línia recta des del cim de la torre de $20\text{ m}$ fins a la base de la torre de $15\text{ m}$, quina distància recorrerà?

Una torre vertical de telecomunicacions de $24\text{ m}$ d'alçària està subjecta a terra mitjançant dos cables tensos ancorats als punts $A$ i $B$, situats en costats oposats respecte a la base de la torre $P$ i alineats amb aquesta. El cable ancorat a $A$ mesura $25\text{ m}$ i l'ancorat a $B$ mesura $30\text{ m}$. Es vol calcular la distància total a terra entre tots dos ancoratges, $d(A,B)$.

Dos estudiants proposen mètodes diferents:

• L'Hugo afirma: «Puc considerar directament el triangle gran format pels dos cables i la distància de terra, de manera que $d(A,B) = \sqrt{25^2 + 30^2}$».

• La Sofia afirma: «Aquest mètode no és vàlid; cal aplicar Pitàgores a cada costat de la torre per separat i sumar els catets de la base: $d(A,B) = \sqrt{25^2 - 24^2} + \sqrt{30^2 - 24^2}$».

1. a) Avalua la validesa de la proposta de l'Hugo explicant per què falla des del punt de vista de les hipòtesis geomètriques del teorema de Pitàgores.
2. b) Desenvolupa el mètode de la Sofia per calcular la distància $d(A,B)$ exacta i amb un decimal.
3. c) Imagina un cas hipotètic diferent en què els dos cables formessin entre si un angle recte ($90^\circ$) a la cúspide de la torre. En aquest escenari, quina de les dues estratègies seria més directa per trobar $d(A,B)$? Justifica la teva resposta comparant ambdós camins.

Un transport especial de mercaderies ha de travessar un túnel de muntanya d'un sol sentit la secció transversal del qual és un semicercle perfecte de radi $R = 5\text{ m}$. La calçada ocupa el diàmetre horitzontal del semicercle. El vehicle transporta un contenidor de secció transversal rectangular de $3{,}6\text{ m}$ d'amplària total. La normativa de seguretat exigeix que el vehicle circuli centrat a la calçada i que es mantingui un marge de seguretat vertical d'almenys $0{,}4\text{ m}$ entre la cantonada superior del contenidor i la volta del túnel.

1. a) Modela la secció del túnel mitjançant un sistema geomètric identificant el triangle rectangle que relaciona el radi del túnel, la semiamplària del contenidor i la cota màxima del sostre sobre la seva cantonada.
2. b) Aplica el teorema de Pitàgores per deduir l'alçària màxima total que pot tenir el contenidor per circular legalment pel túnel centrat, arredonint a dos decimals.
3. c) Per obres a la calçada, es desvia el camió cap a la dreta, de manera que el lateral dret del contenidor queda a només $0{,}5\text{ m}$ de la vora exterior de la calçada del túnel. Raona geomètricament si l'alçària admissible augmentarà o disminuirà respecte al cas centrat i calcula analíticament la nova alçària màxima permesa.