Exercicis: Factorització i regla de Ruffini

Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomi $(x - 2)$. Indica clarament quin és el polinomi quocient i quin és el residu de la divisió.

Sense realitzar la divisió, utilitza el teorema del residu per calcular el residu que s'obté en dividir el polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.

Utilitza el teorema del factor per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.

Extreu el factor comú en el següent polinomi, simplificant l'expressió al màxim:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Factoritza els següents polinomis reconeixent-hi el desenvolupament d'identitats notables (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència o suma per diferència):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Sabent que $x = 1$ és una de les arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilitza la regla de Ruffini per factoritzar-lo i trobar les altres dues arrels.

Atès el polinomi ja factoritzat $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directament quines són totes les seves arrels i especifica la multiplicitat de cadascuna d'elles (si són simples, dobles, etc.).

Construeix un polinomi de grau 3 que tingui com a arrels $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ i $x_3 = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$. Expressa el resultat final en forma desenvolupada (operant els factors).

Mateo ha de determinar si el binomi $(x + 2)$ és un factor del polinomi $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Per comprovar-ho, decideix aplicar la regla de Ruffini i escriu a la fila superior de la seva taula únicament els nombres $1$, $-3$ i $2$. A la casella lateral esquerra col·loca el valor $-2$. Després d'operar, obté un residu diferent de zero i afirma: «Com que el residu no és nul, $(x + 2)$ no divideix el polinomi i, per tant, no n'és un factor».

1. a) Identifica els dos errors comesos per Mateo (un de procediment en preparar la taula i un altre en la seva conclusió).
2. b) Explica per què és imprescindible incloure un zero al lloc dels termes absents en aplicar aquest mètode.
3. c) Realitza la divisió de manera correcta utilitzant la regla de Ruffini i determina raonadament si $(x + 2)$ és en realitat un factor de $P(x)$, indicant el quocient obtingut.

Per descompondre en factors el polinomi $Q(x) = 3x^4 - 12x^2$, dos companys de classe plantegen dues estratègies diferents:

• Estratègia d'Alba: Buscar els divisors enters del terme independent i aplicar successivament la regla de Ruffini.

• Estratègia de Bruno: Extreure primer el màxim factor comú possible i, després, aplicar identitats notables.

1. a) Explica quin inconvenient insalvable troba Alba si intenta aplicar la seva estratègia tal com l'ha formulada.
2. b) Justifica per què la proposta de Bruno és més ràpida, segura i adequada per a aquest tipus de polinomis.
3. c) Aplica el mètode de Bruno per factoritzar completament $Q(x)$, deduint totes les seves arrels reals i la multiplicitat de cadascuna d'elles.

Un dipòsit d'aigua té forma de prisma rectangular. El seu volum en funció d'una mesura $x$ ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si l'altura del dipòsit és exactament $x$, factoritza el polinomi per trobar les expressions algebraiques que corresponen a les dimensions de la seva base rectangular.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ doni un residu de $10$ en ser dividit entre $(x - 2)$.

L'altura d'un vagó d'una muntanya russa, en metres, respecte al temps $t$ en segons des que inicia una baixada, es modelitza mitjançant el polinomi $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoritza el polinomi per determinar en quins instants exactes de temps el vagó es troba a ran de terra ($H(t) = 0$).

Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Per fer-ho, extreu primer el factor comú i després troba les arrels del polinomi resultant.

Calcula el valor de $m$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sigui exactament divisible per $(x - 3)$. Una vegada trobat el valor de $m$, factoritza completament el polinomi $P(x)$.

El nombre de visites a un web (en milers) durant el mes $x$ des del seu llançament ve donat per l'expressió $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoritza l'expressió per esbrinar en quin mes o mesos les visites van ser exactament zero.

Realitza la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomi $(2x - 3)$. Pista: Pots utilitzar la regla de Ruffini dividint entre $(x - \frac{3}{2})$ i ajustant posteriorment el quocient obtingut.

Una empresa d'embalatge dissenya una caixa de cartró el volum de la qual ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoritza el polinomi al màxim per expressar el volum com el producte de tres dimensions lineals (llargada, amplada i altura).

Es vol factoritzar el polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 - 11x - 30$.

1. a) Enumera tots els candidats a arrels enteres a partir dels divisors del terme independent.
2. b) Estima abans de calcular: Observa els candidats de major valor absolut ($\pm 15$ i $\pm 30$). Sense aplicar la regla de Ruffini, compara mentalment la magnitud de $x^3$ enfront de la suma de la resta de termes i raona per què és summament improbable que nombres tan allunyats de l'origen siguin arrels d'aquest polinomi. En quin interval esperaries trobar les arrels?
3. c) Utilitza el teorema del residu avaluant únicament els candidats més propers a zero ($\pm 1, \pm 2, \pm 3$) per trobar una primera arrel sense necessitat de dibuixar taules de Ruffini innecessàries.
4. d) Completa la factorització de $P(x)$ mitjançant la regla de Ruffini a partir de l'arrel trobada, indica totes les arrels reals i reflexiona sobre com l'estimació inicial permet estalviar càlculs infructuosos.

Una empresa logística de Zaragoza que opera a la plataforma PLAZA dissenya contenidors de transport intermodal per al ferrocarril. El volum de càrrega útil de cada contenidor (en metres cúbics, $\text{m}^3$) ve donat pel polinomi $V(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$, on la variable $x$ és una cota tècnica de disseny en metres, subjecta a la condició $x > 3$.

1. a) Aplica la regla de Ruffini per descompondre $V(x)$ en el producte de tres binomis de primer grau, els quals representaran les tres dimensions espacials del contenidor (llargada, amplada i alçària).
2. b) Si l'alçària del contenidor ve representada per l'expressió $(2x - 1)\text{ m}$, quines són les expressions algebraiques de les altres dues dimensions que formen la base?
3. c) Si els enginyers fixen el paràmetre en $x = 4\text{ m}$, calcula les dimensions mètriques reals del contenidor, el seu volum total en $\text{m}^3$ i en litres, i comprova que obtens el mateix resultat utilitzant l'expressió polinòmica desenvolupada i la factoritzada.

Un equip d'enginyers analitza la distribució de tensions en una biga de metall, la qual es modelitza mitjançant el polinomi $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Troba totes les arrels del polinomi per determinar els punts exactes on la tensió és nul·la.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sigui divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$.

Un panell solar té forma rectangular i la seva àrea ve donada pel polinomi $A(x) = x^4 - 81$. Factoritza el polinomi completament en polinomis irreductibles amb coeficients reals per trobar les possibles expressions algebraiques de la seva base i la seva altura.

Construeix un polinomi $P(x)$ de grau 3 que tingui com a arrels $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ i $x_3 = 3$, sabent a més que el seu valor numèric en $x = 0$ és $12$ (és a dir, $P(0) = 12$). Expressa el polinomi final de forma desenvolupada.

Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tingues en compte que pot contenir arrels múltiples. Indica clarament quines són les seves arrels i la multiplicitat de cadascuna.

Utilitzant la factorització de polinomis i les identitats notables, demostra algebraicament que la diferència entre els quadrats de dos nombres senars consecutius, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, és sempre un múltiple de $8$ per a qualsevol nombre enter $n$.

Se sap que el polinomi $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ té almenys una arrel entera. Comprova mitjançant el teorema del residu o la regla de Ruffini que $x = 2$ és una de les seves arrels. A continuació, factoritza el polinomi completament per trobar les seves altres dues arrels (una d'elles és una fracció).

En un sistema de criptografia, una clau de seguretat es valida si coincideix amb les arrels del polinomi $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoritza el polinomi completament per descobrir totes les arrels i les seves respectives multiplicitats, aconseguint així desxifrar el codi.

Troba l'expressió analítica d'un polinomi $P(x)$ de grau 4 que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. El seu coeficient principal és igual a $2$.

2. Admet $x = -1$ com a arrel de multiplicitat 2.

3. És divisible de manera exacta entre el binomi $(x - 2)$.

4. En dividir $P(x)$ entre $(x + 2)$, el residu obtingut és $-48$.

Per resoldre-ho de manera raonada:

1. a) Escriu l'estructura factoritzada general de $P(x)$ deixant indicada una quarta arrel desconeguda $r$.
2. b) Aplica el teorema del residu amb la condició 4 per plantejar una equació de primer grau i aïllar el valor exacte de l'arrel $r$.
3. c) Escriu la factorització completa i definitiva de $P(x)$ i, a continuació, efectua les operacions algebraiques necessàries per expressar-lo en forma desenvolupada (en potències decreixents de $x$).

Considera el polinomi $P(x) = 2x^3 + kx^2 - 13x + 6$, on $k$ representa un paràmetre real desconegut. Se sap que $x = 2$ és una de les seves arrels. Per trobar el valor de $k$ i completar la factorització, el departament de matemàtiques compara dues alternatives didàctiques:

• Via 1 (Ruffini amb paràmetre): Col·locar el paràmetre $k$ directament a la taula de Ruffini dividint entre $(x - 2)$, obtenir l'expressió algebraica del residu i igualar-la a zero.

• Via 2 (Teorema del residu): Utilitzar la condició $P(2) = 0$ mitjançant substitució numèrica directa per aïllar $k$, i realitzar la regla de Ruffini únicament quan tots els coeficients siguin coneguts.

1. a) Compara ambdues alternatives: explica quines dificultats algebraiques presenta la Via 1 i per què la Via 2 resulta més eficient i amb menor risc d'error a 4t d'ESO.
2. b) Aplica la Via 2 per calcular el valor exacte de $k$.
3. c) Un cop fixat $k$, factoritza completament el polinomi $P(x)$. Justifica l'obtenció de l'arrel fraccionària a partir del teorema de les arrels racionals ($p/q$) i escriu la factorització final assegurant-te de no ometre cap coeficient.

Repte del tema. Imagina que planifiques una missió amb un dron ambiental per mesurar emissions urbanes utilitzant dades meteorològiques reals.

1. Dades i ruta vectorial: Consulta a l'AEMET la velocitat mitjana del vent ($v$) i la temperatura d'avui al teu municipi. Defineix el vector d'enlairament $\vec{u}=(v, 2)$ i el de deriva del vent $\vec{w}=(-1, 3)$. Realitza l'operació combinada $2\vec{u} + \vec{w}$ per calcular el vector de desplaçament final del dron.

2. Autonomia: Simula a GeoGebra o en un full de càlcul el consum de bateria mitjançant la funció exponencial $B(t) = 100 \cdot 0,85^t$ (amb $t$ en hores de vol). Estima després de quantes hores la càrrega baixa del $15\,\%$.

3. Rendiment: El fregament aerodinàmic depèn de l'altitud $x$ segons la fracció algebraica $F(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 - 5x + 6}$. Aplica la regla de Ruffini per factoritzar numerador i denominador, simplifica l'expressió i identifica quines altituds crítiques anul·len el denominador.

4. Informe final: Redacta un informe d'una pàgina que reculli la trajectòria vectorial, la gràfica de la bateria i les altituds que cal evitar segons la fracció simplificada.

Es valorarà:

• Rigor en la factorització per Ruffini i simplificació de la fracció algebraica.

• Precisió en les operacions amb vectors i ús de dades reals de l'AEMET.

• Modelatge i interpretació correctes de la funció exponencial amb suport digital.