Exercicis: Moviments i translacions

Un dron de repartiment està en la posició $A(3, 5)$ i es desplaça seguint el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. Quines són les coordenades de la seva posició final $A'$?

En un tauler d'escacs gegant, una peça es mou des de la casella amb coordenades $P(-1, -3)$ fins a la casella $Q(4, 2)$. Determina les components del vector de translació $\vec{PQ}$.

Un jardiner vol plantar un arbre en el punt $B'$, que ha de ser simètric a l'arbre situat a $B(2, -6)$ respecte al centre del jardí $C(0, 0)$. Calcula les coordenades de $B'$.

En el disseny d'un logotip, el punt $M(-4, 7)$ es reflecteix respecte de l'eix d'ordenades (eix Y). Quines són les coordenades del punt reflectit $M'$?

Una peça d'un engranatge situada en el punt $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant de l'origen de coordenades $O(0, 0)$. En quina posició $K'$ quedarà la peça després del gir?

S'aplica un gir de $180^\circ$ a un senyal de trànsit circular amb centre en el punt $C(3, 4)$ i radi $2$. Quin punt exacte del senyal roman en la mateixa posició (és invariant) després del moviment?

Un robot aspirador es mou des de la seva base seguint el vector $\vec{u} = (2, 5)$ i després segueix el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base està en l'origen $O(0,0)$, quines són les coordenades de la seva posició final i quin vector únic $\vec{v}$ representa el desplaçament total?

Dos fanals estan situats en els punts $F_1(-2, 8)$ i $F_2(6, -2)$. Es vol col·locar un transformador elèctric en el centre de simetria de tots dos. Quines són les coordenades d'aquest centre?

La Lucía està programant els moviments d'un personatge en un videojoc en dues dimensions. El personatge es troba al punt $A(2, 5)$ i s'ha de reflectir respecte a la recta horitzontal $y = 1$. La Lucía escriu al seu quadern de desenvolupament: «Per reflectir respecte a la recta $y = 1$, l'abscissa no varia i a l'ordenada li resto el valor de la recta, de manera que $y' = 5 - 1 = 4$, quedant el personatge al punt $A'(2, 4)$».

1. a) Sense fer encara els càlculs numèrics correctes, explica l'error de raonament que ha comès la Lucía atenent a la distància entre el punt original i l'eix de simetria (cap a quin costat de l'eix ha quedat la suposada imatge?).
2. b) Corregeix el càlcul aplicant l'expressió analítica corresponent a les simetries respecte a rectes horitzontals $y = k$ i determina les coordenades correctes del punt transformat $A'$.

Un vehicle guiat automatitzat d'un centre logístic a Zaragoza parteix de la posició $P(5, 2)$. El programari de control li ordena executar dos moviments consecutius: en primer lloc, un gir de $90^\circ$ en sentit antihorari amb centre a l'origen de coordenades $(0, 0)$; en segon lloc, una translació segons el vector $\vec{v} = (-3, 4)$.

1. a) Estima: Abans de fer les operacions algebraiques, dedueix raonadament en quin quadrant del pla quedarà el vehicle immediatament després del gir. Tot seguit, anticipa quin signe tindran l'abscissa i l'ordenada de la posició final després d'aplicar la translació $\vec{v}$.
2. b) Comprova: Calcula pas a pas les coordenades del punt intermedi després del gir i les del punt final després de la translació. Comprova si el resultat numèric confirma les previsions que has fet en l'estimació.

En un programari d'arquitectura (CAD), el plànol d'una finestra està definit pel polígon de vèrtexs $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ i $D(1, 3)$. El dissenyador decideix traslladar la finestra aplicant el vector $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcula les coordenades dels nous vèrtexs $A'$, $B'$, $C'$ i $D'$.

En una fàbrica de tèxtils, una màquina plega una tela al llarg de la recta horitzontal $y = 2$. Si un patró decoratiu està imprès en el punt $P(3, -1)$, quines seran les coordenades del patró $P'$ un cop plegada la tela?

Un braç robòtic articula en el punt $C(2, 1)$. La seva pinça es troba inicialment a $P(5, 3)$. Si el braç fa un gir de $180^\circ$ al voltant de l'articulació $C$, quines seran les noves coordenades $P'$ de la pinça?

Un programa d'impressió 3D primer trasllada un vèrtex d'un sòlid mitjançant el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ i, a continuació, li aplica una simetria central respecte a l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$. Si el vèrtex original estava en la posició $V(2, -3, 1)$, quina és la seva posició final $V'$?

Un raig làser s'emet des del punt $E(1, 5)$ i, després de reflectir-se en un mirall pla i paral·lel a l'eix X, impacta en el punt receptor $R(1, -1)$. Sabent que l'abscissa no canvia i l'ordenada dels punts simètrics equidista del mirall, quina és l'equació de la recta que defineix la posició del mirall?

En un magatzem automatitzat, un paquet es mou en línia recta des de la prestatgeria $A(10, 5, 2)$ fins a la zona de càrrega $B(2, 8, 0)$. Determina el vector de translació $\vec{AB}$. Si un altre paquet situat a $C(4, 4, 4)$ fa exactament el mateix moviment, quines seran les coordenades de la seva posició final $C'$?

Una càmera de seguretat muntada en un pal a $C(1, 2)$ enfoca inicialment una porta situada a $P(4, 2)$. Per a cobrir un passadís, la càmera gira $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant del seu eix a $C$. Quines són les coordenades del nou punt $P'$ al qual apuntarà la càmera? (Assumeix que la distància focal es manté constant).

Un veler es desplaça al mar impulsat pel vent, la qual cosa li confereix un desplaçament segons el vector $\vec{v} = (12, -5)$ km. Simultàniament, un corrent marí l'arrossega segons el vector $\vec{c} = (-3, -2)$ km. Si el veler va partir del port a $P(-4, 10)$, quina és la seva posició final $P'$ i a quina distància en línia recta es troba del punt de partida?

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) compta amb una estació de radar situada al punt $C(3, 1)$ (coordenades en desenes de quilòmetres). El radar localitza el nucli d'una tempesta a la posició $P(7, 4)$. A causa del règim de vents, la massa d'aire gira $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant de l'estació $C$ i, tot seguit, es desplaça segons el vector de translació $\vec{u} = (-2, 3)$.

1. a) Descriu els tres passos geomètrics necessaris per efectuar un gir quan el centre no coincideix amb l'origen de coordenades.
2. b) Troba les coordenades exactes de la posició final del nucli de la tempesta després de completar-se ambdós moviments.
3. c) Calcula la distància en línia recta, en quilòmetres reals, a la qual es troba la tempesta respecte al radar $C$ en la seva posició final (recorda que $1\text{ unitat} = 10\text{ km}$).

Per al redisseny del logotip d'un club esportiu s'apliquen dues transformacions geomètriques independents sobre el pla de coordenades:

• Una simetria axial respecte a una recta vertical desconeguda $r: x = k$, que transforma el vèrtex $A(-3, 4)$ en el punt $A'(7, 4)$.

• Una translació segons un vector desconegut $\vec{w}$, que desplaça la marca $B(2, -1)$ fins a la posició $B'(-1, 5)$.

1. a) Determina el valor del paràmetre $k$ que defineix la recta de simetria i obtén les components del vector de translació $\vec{w}$.
2. b) Resol el problema invers: esbrina quines eren les coordenades del punt original $P(x, y)$ si se sap que, després d'aplicar-li primer la translació $\vec{w}$ i tot seguit la simetria respecte a la recta $x = k$, la seva posició final resultant és el punt $(1, 2)$.

Un raig de llum travessa un vidre gruixut i pateix una doble reflexió interna. Primer experimenta una simetria axial respecte a la recta vertical $x = 1$, i després una altra simetria axial respecte a la recta $x = 4$. Si una impuresa en el vidre està en el punt $M(-2, 3)$, troba la seva posició després de la primera simetria ($M'$) i després de la segona ($M''$). A quin vector de translació directe equival la composició d'aquestes dues simetries axials?

En una taula de billar, una bola està en la posició $A(2, 3)$. Un jugador la vol colpejar perquè impacti a la banda dreta (situada al llarg de la recta $x = 8$) i, després de rebotar, colpegi una altra bola situada a $B(4, 7)$. Per a calcular la trajectòria, utilitza el punt simètric de $B$ respecte a la banda, anomenem-lo $B'$. Troba les coordenades de $B'$ i troba l'equació de la recta que uneix $A$ amb $B'$. En quin punt exacte $P$ de la banda rebotarà la bola?

Un quadrat té el centre geomètric en l'origen $O(0, 0)$ i un dels seus vèrtexs és $V_1(3, 3)$. Per a trobar els altres vèrtexs, s'apliquen girs successius de $90^\circ$ en sentit horari al voltant de l'origen, obtenint $V_2$, $V_3$ i $V_4$. Calcula les coordenades dels quatre vèrtexs i comprova analíticament que la distància entre $V_1$ i $V_2$ és exactament igual a la distància entre $V_2$ i $V_3$.

En la mecanització CNC d'una peça, l'eina de tall es troba inicialment en el punt $H(0, 5)$. El programa executa dues ordres: primer, el plat de subjecció gira $180^\circ$ respecte al centre $C(2, 3)$, portant l'eina a la posició $H'$. Immediatament després, el carro es trasllada segons el vector $\vec{u} = (-1, -4)$ fins a aconseguir la posició final $H''$. Determina les coordenades exactes de $H'$ i $H''$.

En un estudi de transformacions geomètriques, els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ i $C(2, 4)$. Després d'aplicar un únic moviment en el pla, els nous vèrtexs resulten ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ i $C'(-2, -4)$. Identifica de quin tipus de moviment es tracta (translació, gir o simetria) i especifica els seus elements característics (vector, centre i angle, o eix). Justifica analíticament la teva resposta.

Una canonada recta de subministrament d'aigua passa pels punts $A(0, 4)$ i $B(4, 0)$. Per motius de redundància en el disseny, es construeix una segona canonada que és exactament simètrica a la primera respecte de l'eix d'abscisses (eix X). Troba les coordenades dels punts simètrics $A'$ i $B'$, i determina l'equació explícita de la recta que defineix la trajectòria d'aquesta segona canonada.

Una peça triangular d'un mosaic històric amb un vèrtex a $P(2, 6)$ s'ha desprès i, en caure, ha girat exactament $90^\circ$ en sentit antihorari al voltant d'un punt desconegut $C(x, y)$, i el vèrtex ha quedat en la nova posició $P'(-4, 4)$. Sabent que en un gir de $90^\circ$ antihorari al voltant de l'origen un vector $(a, b)$ es transforma en $(-b, a)$, planteja les equacions corresponents a la transformació del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ i resol el sistema per trobar les coordenades del centre de gir $C$.

En una llibreria gràfica per programar trajectòries de robots industrials cal transformar qualsevol punt $P(x, y)$ mitjançant una simetria central respecte a un punt de suport $C(a, b)$. A l'equip tècnic es plantegen dos algorismes diferents:

• Mètode 1: Aplicar directament la fórmula analítica de simetria central respecte a un punt: $P' = 2C - P$.

• Mètode 2: Compondre dues simetries axials perpendiculars consecutives: reflectir primer $P(x, y)$ respecte a la recta vertical $x = a$ per obtenir un punt intermedi $P_1$, i després reflectir $P_1$ respecte a la recta horitzontal $y = b$ per obtenir $P'$.

1. a) Desenvolupa algebraicament les coordenades finals $(x', y')$ obtingudes mitjançant ambdós mètodes per a un punt genèric $P(x, y)$ amb centre $C(a, b)$. Demostra rigorosament si ambdós mètodes són matemàticament equivalents.
2. b) Justifica si l'ordre d'aplicació de les dues simetries en el Mètode 2 influeix en el resultat final.
3. c) Si has d'implementar aquest càlcul en un microcontrolador que busca minimitzar el nombre total d'operacions aritmètiques en temps real, compara el cost computacional d'ambdós mètodes i justifica quin triaries.

Un helicòpter de Salvamento Marítimo amb base al punt costaner $A(2, 6)$ ha de fer una intervenció d'emergència. La missió li exigeix descendir primer fins al nivell de la vora (representada per la recta horitzontal $y = 1$) per recollir material de rescat en un punt $P(x_0, 1)$, i continuar immediatament cap a una embarcació en dificultats situada a $B(8, 4)$ (les coordenades estan expressades en milles nàutiques). Per minimitzar el consum de combustible, cal optimitzar la trajectòria de manera que la distància total recorreguda $d = AP + PB$ sigui com més petita millor.

1. a) Troba les coordenades del punt simètric de $B$ respecte a la recta de la vora $y = 1$, al qual anomenarem $B'$.
2. b) Demostra raonadament, recolzant-te en les propietats de la simetria axial i en la desigualtat triangular, per què la distància $AP + PB$ coincideix amb la longitud del trajecte $AP + PB'$, i dedueix per què el punt òptim $P$ ha de pertànyer obligatòriament al segment rectilini que uneix $A$ amb $B'$.
3. c) Obtén l'equació de la recta que passa pels punts $A$ i $B'$, i determina a partir d'aquesta les coordenades exactes del punt de contacte $P(x_0, 1)$ a la vora.

Repte del tema. Com condiciona el vent el disseny de corredors per a drons d'emergència?

1. Dades reals: Consulta al web d'AEMET la velocitat i la direcció del vent de 6 hores consecutives a la teva estació meteorològica més propera. Modela cada registre com un vector en el pla $\vec{v}_i = (x_i, y_i)$.

2. Anàlisi estadística: En un full de càlcul, determina les mesures de posició (mitjana i mediana) i de dispersió (variància i rang) de les components horitzontal i vertical per resumir la dispersió del flux aeri.

3. Construcció a GeoGebra: Fixa el teu centre educatiu en el punt $A(x_0, y_0)$. Aplica un moviment de translació a $A$ mitjançant el vector mitjà $\vec{u} = (\bar{x}, \bar{y})$ obtenint $A'$. Troba l'equació de la recta directriu $r$ que uneix ambdós punts, una recta $s$ perpendicular a $r$ (pista d'aterratge amb vent creuat) i les rectes paral·leles als eixos cartesians que passen per $A$.

4. Producte final: Lliura una proposta tècnica justificada amb la captura del model geomètric, argumentant l'orientació més segura per a l'enlairament.

Es valorarà:

• Obtenció precisa dels vectors i rigor en el càlcul de les mesures de posició i dispersió.

• Correcció algebraica i geomètrica en operacions vectorials, translacions i rectes paral·leles/perpendiculars.

• Qualitat de l'informe i justificació tècnica basada en la simulació.