Exercicis: Distribucions bidimensionals

Classifica les relacions següents entre variables bidimensionals com a dependència funcional o dependència estadística (aleatòria):

1. a) La longitud del radi d'una circumferència i la seva àrea.
2. b) El nombre d'hores d'entrenament d'un atleta i la seva marca en una cursa de $100$ metres.
3. c) El pes d'un paquet de taronges i el seu preu al supermercat.
4. d) L'edat d'un arbre i la seva alçària.

En un estudi sobre el clima i els hàbits en diverses ciutats, s'han analitzat diferents parells de variables. Indica si s'espera una correlació positiva, negativa o nul·la en cada cas:

1. a) L'altitud de la ciutat i la temperatura mitjana anual.
2. b) La quantitat de pluja anual i el nombre de paraigües venuts.
3. c) El nombre d'habitants i la temperatura mitjana anual.
4. d) Les hores de sol a l'any i la despesa en calefacció.

Per a una distribució bidimensional $(X, Y)$ de $10$ parells de valors, s'han obtingut les sumes següents després de tabular les dades: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 60$ i $\sum x_i y_i = 280$. Calcula el valor de la covariància de la distribució.

La recta de regressió que relaciona el nombre d'hores d'estudi setmanal ($X$) amb la qualificació obtinguda en un examen sobre $10$ ($Y$) ve donada per l'equació $y = 0,6x + 2,5$.

1. a) Quina qualificació s'estima per a un alumne que ha estudiat $8$ hores?
2. b) Si un alumne vol obtenir una qualificació estimada de $7$, quantes hores hauria d'estudiar segons aquest model?

Associa cadascun dels valors següents del coeficient de correlació lineal de Pearson ($r$) amb la gràfica corresponent en el diagrama inferior.

Valors: $r_1 = 0,98$, $r_2 = -0,92$, $r_3 = 0,05$, $r_4 = 0,45$.

S'ha mesurat el pes en kg ($X$) i l'alçària en cm ($Y$) d'un grup de $5$ amics, i s'han obtingut els parells de valors següents: $(60, 165)$, $(65, 170)$, $(70, 175)$, $(55, 160)$ i $(80, 180)$. Calcula les coordenades exactes del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ d'aquesta distribució bidimensional.

En un experiment de laboratori es vol comprovar com afecta la temperatura ($T$) a la solubilitat d'una sal en aigua ($S$).

1. a) Identifica quina s'ha de considerar la variable independent ($X$) i quina la dependent ($Y$) per fer un estudi de regressió.
2. b) Si en augmentar la temperatura, la quantitat de sal dissolta augmenta proporcionalment, quin signe tindrà el coeficient de correlació lineal?

El coeficient de correlació lineal entre la talla de sabata d'un grup d'estudiants i la nota obtinguda en el darrer examen de matemàtiques és $r = 0,02$. Explica el significat d'aquest valor. Té sentit calcular la recta de regressió per predir la nota a partir de la talla de sabata?

En un projecte de seguretat viària, la Lucía estudia dos possibles factors que influeixen en la distància de frenada d'un vehicle ($Y$, en metres): la velocitat ($X_1$, en $\text{km/h}$) i el temps de reacció del conductor ($X_2$, en segons).

Després d'analitzar les dades d'una mostra, obté una covariància $\sigma_{x_1 y} = 320\text{ km/h}\cdot\text{m}$ per al primer factor i $\sigma_{x_2 y} = 12\text{ s}\cdot\text{m}$ per al segon. A partir d'això, la Lucía afirma:

«La relació lineal entre la velocitat i la frenada és gairebé 27 vegades més intensa que entre el temps de reacció i la frenada perquè $320$ és molt més gran que $12$».

A més, afegeix: «Si passem la velocitat a metres per segon dividint entre $3,6$, el coeficient de correlació $r$ quedarà també dividit entre $3,6$».

1. a) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía en les seves afirmacions.
2. b) Sabent que en l'estudi de la velocitat les desviacions típiques són $\sigma_{x_1} = 20\text{ km/h}$ i $\sigma_y = 18\text{ m}$, calcula el veritable coeficient de correlació lineal $r$ i interpreta la força i el sentit de la relació. Quin valor prendria $r$ si es mesurés la velocitat en $\text{m/s}$?

S'ha registrat el nombre d'hores setmanals d'estudi ($X$) i la qualificació obtinguda en un examen sobre 10 ($Y$) de cinc estudiants de $4t\text{ d'ESO}$:

• Estudiant A: $(2; 3)$

• Estudiant B: $(4; 5)$

• Estudiant C: $(6; 6)$

• Estudiant D: $(8; 7)$

• Estudiant E: $(10; 9)$

1. a) Fes una estimació raonada abans de calcular:

1. Observant les dades extremes i la seva simetria, proposa un valor estimat per a les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Observa si les dues variables creixen alhora i estima raonadament el signe de $r$ i si el seu valor estarà més a prop de $0$, de $0,5$ o d'$1$.

1. b) Comprova les teves estimacions calculant de manera exacta les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$, les variàncies $\sigma_x^2$ i $\sigma_y^2$, la covariància $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació $r$ (amb dos decimals). Valora finalment si les teves estimacions inicials eren encertades.

En un estudi de mercat sobre el preu de l'habitatge ($Y$, en milers d'euros) en funció de la seva superfície ($X$, en metres quadrats), s'han obtingut els paràmetres estadístics següents:

• La covariància és $\sigma_{xy} = 450$.

• La desviació típica de la superfície és $\sigma_x = 25$.

• La desviació típica del preu és $\sigma_y = 20$.

Calcula el coeficient de correlació lineal i interpreta la força i el sentit de la relació entre totes dues variables.

S'ha preguntat a $6$ famílies pels seus ingressos mensuals en milers d'euros ($X$) i la seva despesa mensual en oci en centenars d'euros ($Y$). Els resultats són els parells:

$(2, 3)$, $(2,5; 4)$, $(3, 4)$, $(4, 6)$, $(4,5; 7)$, $(5, 8)$.

1. a) Representa el núvol de punts en uns eixos coordinats.
2. b) Observant la teva representació, estima si la correlació és forta o feble, i si és positiva o negativa.
3. c) Sense fer càlculs complexos de regressió, creus que la recta de regressió passaria a prop del punt $(3,5; 5,3)$? Justifica la teva resposta calculant el centre de gravetat de la distribució.

Coneixem les dades següents d'una distribució bidimensional referida a les vendes d'una empresa ($Y$, en milers d'unitats) segons la inversió en publicitat ($X$, en milers d'euros):

• Centre de gravetat: $(12, 40)$.

• Desviació típica de $X$: $\sigma_x = 3$.

• Desviació típica de $Y$: $\sigma_y = 5$.

• Coeficient de correlació: $r = 0,9$.

Troba l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ en la forma $y = mx + n$.

La recta de regressió que relaciona l'antiguitat d'un model de cotxe en anys ($X$) amb el seu valor al mercat de segona mà en milers d'euros ($Y$) és $y = -1,2x + 18$.

1. a) Estima el valor d'un cotxe que té $5$ anys d'antiguitat.
2. b) Estima el valor d'un cotxe que té $20$ anys d'antiguitat.
3. c) Són igualment fiables totes dues estimacions? Explica els riscos lògics i matemàtics de l'extrapolació en el segon cas.

Un estudi estadístic realitzat durant un any en una ciutat costanera mostra una forta correlació positiva entre les vendes mensuals de gelats i el nombre de persones que pateixen incidents d'ofegament a la platja.

1. a) Significa això que menjar gelats és la causa dels ofegaments?
2. b) Identifica una possible "variable oculta" que expliqui l'augment simultani de totes dues variables i justifiqui la correlació estadística trobada.

Una petita empresa de programari ha registrat el nombre de desenvolupadors assignats a un projecte ($X$) i el temps en mesos que han trigat a finalitzar-lo ($Y$):

$X$: $2, 3, 5, 6$

$Y$: $8, 6, 3, 2$

1. a) Calcula la mitjana de $X$ i la mitjana de $Y$.
2. b) Calcula la covariància de la distribució.
3. c) La relació és directa o inversa? Té sentit aquest resultat en el context del problema?

En una classe de 4t d'ESO s'ha estudiat la relació entre la nota de Física ($X$) i la de Matemàtiques ($Y$) dels $20$ alumnes matriculats. El centre de gravetat de la distribució és $(6,2; 6,5)$.

Si un nou alumne s'incorpora a la classe i obté un $4$ en Física i un $5$ en Matemàtiques, com es desplaçarà el centre de gravetat de la nova distribució de $21$ alumnes? (No cal calcular el valor exacte, sinó raonar la direcció del canvi en totes dues coordenades).

Donades les equacions de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ ($y = 0,8x + 2,4$) i de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ ($x = 0,5y + 3$) d'una mateixa distribució bidimensional, determina les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$. (Recorda la propietat geomètrica que relaciona totes dues rectes amb el centre de gravetat).

En un informe sociològic es va estudiar la relació entre els ingressos nets mensuals ($X$, en milers d'euros) i la despesa mensual en lleure ($Y$, en centenars d'euros) d'un grup de famílies. Per un error informàtic es va perdre la taula amb les dades individuals, però es van conservar a les conclusions les equacions de les dues rectes de regressió:

• Recta de regressió de $Y$ sobre $X$: $y = 0,75x + 2$

• Recta de regressió de $X$ sobre $Y$: $x = 0,48y + 1,6$

1. a) Troba de manera justificada les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució sense necessitat de disposar de les dades originals.
2. b) Determina el coeficient de correlació lineal $r$ a partir dels pendents d'ambdues rectes. Justifica el signe assignat a $r$.
3. c) Sabent que la variància dels ingressos és $\sigma_x^2 = 16$, reconstrueix el valor exacte de la covariància $\sigma_{xy}$ i el de la desviació típica de la despesa en lleure $\sigma_y$.

Un equip de geografia utilitza registres de l'AEMET en un dia serè d'hivern per modelitzar com descendeix la temperatura màxima ($Y$, en ºC) a mesura que augmenta l'altitud ($X$, expressada en centenars de metres) en cinc localitats de la Sierra de Guadarrama:

• Collado Villalba: $(9; 11)$

• Cercedilla: $(12; 9)$

• Navacerrada pueblo: $(13; 6)$

• Puerto de Cotos: $(18; 2)$

• Puerto de Navacerrada: $(23; -3)$

(Per exemple, $X = 9$ representa $900\text{ m}$ d'altitud).

1. a) Modela la relació lineal calculant la covariància $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal $r$ (amb tres decimals). Què indica aquest coeficient sobre la bondat de l'ajust?
2. b) Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i interpreta el significat físic del seu pendent (el gradient tèrmic vertical) en el context de la muntanya.
3. c) Utilitza la recta per estimar la temperatura màxima al Mirador de las Canchas ($1750\text{ m}$, és a dir, $X = 17,5$) i al cim de Peñalara ($2428\text{ m}$, és a dir, $X = 24,28$). Raona quina de les dues estimacions és més fiable atenent al rang de dades observat.

Una empresa de transport vol analitzar la relació entre la distància recorreguda en un trajecte ($X$, en desenes de km) i el consum de combustible ($Y$, en litres). Les dades registrades en una mostra de $5$ camions són:

$X$: $5, 10, 15, 20, 25$

$Y$: $12, 22, 30, 42, 49$

1. a) Calcula les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$.
2. b) Calcula les variàncies $\sigma_x^2$ i $\sigma_y^2$, i la covariància $\sigma_{xy}$.
3. c) Troba el coeficient de correlació lineal $r$.
4. d) Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i estima el consum de combustible per a un trajecte de $180$ km ($X=18$).

S'ha estudiat la relació entre les hores d'entrenament setmanal ($X$) i el temps en minuts per completar una prova esportiva de resistència ($Y$) en un grup d'atletes, i s'ha obtingut el diagrama de dispersió següent.

En calcular el coeficient de correlació amb totes les dades, s'obté una correlació feble ($r = -0,45$).

1. a) Observant la gràfica, identifica quin punt es considera un valor atípic (outlier).
2. b) Explica, raonant sobre el concepte de tendència lineal, com afectaria l'eliminació de l'"Atleta A" al valor numèric del coeficient de correlació i al pendent de la recta de regressió.

En una localitat petita s'ha recollit la informació sobre el nombre de cotxes per família ($X$) i el nombre de televisors per família ($Y$), presentats en la taula de doble entrada següent:

1. a) Obté les distribucions marginals de $X$ i de $Y$.
2. b) Calcula el centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.
3. c) Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.

Demostra analíticament que si la relació empírica entre dues variables $X$ i $Y$ és exactament lineal i compleix $y_i = a x_i + b$ per a tots els parells de valors (amb $a > 0$), aleshores la covariància és $\sigma_{xy} = a \cdot \sigma_x^2$ i el coeficient de correlació lineal és exactament $r = 1$.

(Pista: recorda que si $y_i = a x_i + b$, aleshores la mitjana compleix $\bar{y} = a \bar{x} + b$. Substitueix aquestes expressions en la fórmula de la covariància $\sigma_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N}$).

Es coneixen les equacions de les dues rectes de regressió d'una distribució bidimensional:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -1,2x + 10$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -0,6y + 8$

1. a) Calcula les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Sabent que el coeficient de correlació $r$ té el mateix signe que el pendent de les rectes de regressió, i que es compleix la relació $r^2 = m_{yx} \cdot m_{xy}$ (on $m_{yx}$ és el pendent de la recta de $Y$ sobre $X$, i $m_{xy}$ és el pendent de la recta de $X$ sobre $Y$), calcula el valor exacte de $r$.

La covariància entre la variable $X$ (temperatura mitjana diària en graus Celsius) i la variable $Y$ (vendes de refrescs en euros) en un mes determinat és $\sigma_{xy} = 150$.

Si decidim canviar la unitat de mesura de la temperatura a graus Fahrenheit utilitzant la fórmula de conversió $F = 1,8C + 32$, respon raonadament:

1. a) Quin serà el nou valor de la covariància $\sigma_{Fy}$ entre la temperatura en Fahrenheit i les vendes?
2. b) El nou coeficient de correlació lineal canviarà respecte a l'original? Justifica la teva resposta apel·lant a la fórmula de $r$.

Un agricultor vol predir la producció de la seva collita de tomàquets ($Y$, en tones). Té dues variables predictores possibles: la quantitat de fertilitzant utilitzat ($X_1$, en kg) i el nombre de dies de pluja durant el cultiu ($X_2$).

Després d'analitzar dades històriques, obté els paràmetres següents:

$\sigma_{x_1} = 10$, $\sigma_{x_2} = 4$, $\sigma_y = 5$.

Covariància entre $X_1$ i $Y$: $\sigma_{x_1y} = 40$.

Covariància entre $X_2$ i $Y$: $\sigma_{x_2y} = -18$.

1. a) Calcula el coeficient de correlació lineal per a cada parell de variables: $(X_1, Y)$ i $(X_2, Y)$.
2. b) Quina variable proporciona una predicció més fiable de la producció de tomàquets mitjançant un model lineal? Justifica la teva decisió.

En una distribució bidimensional, es sap que el centre de gravetat és el punt $(4, 7)$, la variància de la variable $X$ és $\sigma_x^2 = 3$ i l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 1,5x + 1$.

1. a) Comprova analíticament si el centre de gravetat pertany a la recta donada.
2. b) A partir del pendent de la recta de regressió, calcula el valor de la covariància $\sigma_{xy}$.
3. c) Si es sap a més que la variància de $Y$ és $\sigma_y^2 = 8$, quin és el valor del coeficient de correlació lineal $r$?

En un institut s'analitza la relació entre la nota mitjana obtinguda a $4t\text{ d'ESO}$ ($X$) i la nota mitjana obtinguda a Batxillerat ($Y$) per una mostra representativa d'estudiants. Els paràmetres de la distribució són:

$\bar{x} = 6,5$; $\bar{y} = 6,0$; $\sigma_x = 1,5$; $\sigma_y = 1,2$; $\sigma_{xy} = 1,44$.

L'equip docent necessita abordar dues tasques:

1. Predir la nota de Batxillerat d'una alumna que va finalitzar $4t\text{ d'ESO}$ amb un $8,0$.

2. Per a un alumne que ha obtingut un $7,5$ a Batxillerat, estimar quina nota mitjana va obtenir previsiblement a $4t\text{ d'ESO}$.

Per resoldre la tasca 2 es proposen dos camins diferents:

• Mètode A: Aïllar algebraicament la incògnita $x$ a la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ calculada a la tasca 1, substituint $y = 7,5$.

• Mètode B: Calcular la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ i avaluar-hi directament el valor $y = 7,5$.

1. a) Resol la tasca 1 calculant la recta de regressió adequada i oferint la predicció per a l'alumna.
2. b) Aplica els dos mètodes (A i B) per a la tasca 2 i compara els dos valors numèrics que donen.
3. c) Justifica quin dels dos mètodes és el matemàticament correcte des del punt de vista del mètode de mínims quadrats i raona sota quina única condició ambdós mètodes donarien exactament el mateix resultat.

En Carlos presenta un treball sobre el rendiment de dos tipus de combustible ($X$ i $Y$) i afirma haver obtingut les dues rectes de regressió següents:

• Recta de regressió de $Y$ sobre $X$: $y = 2,5x - 3$

• Recta de regressió de $X$ sobre $Y$: $x = 0,8y + 2$

En la seva exposició final sosté amb seguretat tres afirmacions:

1. «Com que ambdues rectes tenen pendents positius, les dades mostren una correlació lineal positiva molt forta».

2. «El centre de gravetat de la mostra és el punt $(1; -0,5)$».

3. «Si canviem les unitats multiplicant ambdues variables per $10$, el nou coeficient de correlació quedarà multiplicat per $100$».

Demostra detalladament que els resultats d'en Carlos són matemàticament impossibles analitzant els tres aspectes següents:

1. a) La relació matemàtica entre els pendents d'ambdues rectes i el coeficient de correlació lineal $r$, deduint per què aquestes dues rectes no poden correspondre a cap distribució estadística real.
2. b) La propietat geomètrica que lliga de manera obligatòria el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ amb ambdues rectes de regressió, comprovant si el punt proposat per en Carlos la satisfà.
3. c) La propietat d'invariància del coeficient de correlació $r$ davant de canvis d'escala lineals positius.

Repte del tema. Roba el telèfon mòbil hores al nostre descans nocturn? Per comprovar-ho, elaboraràs un breu informe estadístic utilitzant dades reals del teu entorn amb l'ajuda d'un full de càlcul o GeoGebra.

1. Presa de dades: Pregunta a 15 familiars o companys les seves hores diàries d'ús de pantalla ($X$) i les seves hores de son ($Y$) del dia anterior (poden mirar-ho als ajustos del dispositiu).

2. Anàlisi unidimensional: Amb la variable $X$, construeix una taula de freqüències agrupades o no agrupades. Calcula la mitjana ($\bar{x}$), la variància ($s^2$), la desviació típica ($s$) i els quartils ($Q_1$, $Me$, $Q_3$). Genera el seu diagrama de caixa i interpreta la dispersió i possibles valors atípics.

3. Estudi bidimensional: Representa el núvol de punts per a $(X, Y)$. Traça a ull o amb el programari la recta de regressió i valora el signe i la força de la correlació existent.

4. Informe final: Resumeix les teves troballes en una pàgina, adjuntant els gràfics i proposant una recomanació saludable basada en les evidències obtingudes.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de mesures de posició, dispersió i elaboració del diagrama de caixa.

• Correcció en interpretar la relació bidimensional i la correlació entre ambdues variables.

• Ús autònom de GeoGebra o el full de càlcul i claredat argumentativa en l'informe.