Exercicis: Variacions

En una cursa de $100\text{ m}$ llisos participen $8$ atletes. De quantes maneres diferents es poden repartir les medalles d'or, plata i bronze sabent que no hi pot haver empats?

Llancem un dau cúbic tradicional de $6$ cares $4$ vegades consecutives i anotem el resultat de cada tirada per ordre. Quants resultats diferents podem obtenir en total?

Cinc amics van al cinema i troben una fila amb $4$ butaques lliures consecutives. De quantes maneres diferents es poden seure per veure la pel·lícula?

Llancem una moneda a l'aire $6$ vegades consecutives i anotem la seqüència exacta de cares i creus obtingudes. Quantes seqüències diferents es poden arribar a formar?

En una galeria d'art es van a exposar $2$ quadres seleccionats d'una col·lecció privada de $7$ obres. Un es col·locarà a la paret esquerra de la sala i l'altre a la paret dreta. De quantes maneres diferents es pot organitzar aquesta exposició?

Volem pintar $3$ bústies alineades en un carrer. Disposem de $4$ colors diferents (vermell, verd, blau i groc). Si podem repetir colors en diferents bústies, de quantes maneres diferents les podem pintar?

Un club de lectura té $9$ membres. Han d'elegir una junta directiva formada per una presidència, una vicepresidència i una secretaria. Com que els càrrecs són diferents i cada persona només en pot ocupar un, de quantes maneres es pot formar la junta?

Un examen tipus test consta de $5$ preguntes. Cada pregunta té $3$ opcions de resposta (A, B i C) de les quals només se'n pot marcar una. Si un alumne respon a totes les preguntes, de quantes maneres diferents es pot omplir l'examen?

Per accedir a la taquilla del gimnàs de l'institut, la Lucía ha de configurar una clau secreta de $3$ xifres diferents triades exclusivament entre els nombres primers menors que $10$, és a dir, del conjunt $\{2, 3, 5, 7\}$. El seu company Marcos afirma: «Com que importa l'ordre de les xifres i disposem de $4$ elements per formar grups de $3$, el nombre total de claus possibles és $VR_{4,3} = 4^3 = 64$».

1. a) Troba l'error conceptual comès per en Marcos i explica clarament quina condició de l'enunciat ha ignorat.
2. b) Corregeix el seu plantejament deduint la fórmula adequada i calcula el nombre real de claus diferents que la Lucía pot programar.

En una classe de 4t d'ESO amb $25$ estudiants s'ha de triar la junta de delegats per al curs, formada per tres càrrecs diferenciats: delegat, subdelegat i secretari. Un mateix estudiant no pot ocupar més d'un càrrec.

1. a) Sense fer el càlcul detallat amb la fórmula, estima raonadament si el nombre total de juntes possibles estarà més a prop de $1\,000$, de $15\,000$ o de $100\,000$. Justifica breument l'arrodonyiment o aproximació mental que has utilitzat.
2. b) Modela la situació calculant el valor exacte mitjançant la fórmula de combinatòria adequada. Comprova si el resultat confirma la teva estimació i explica per què l'ordre d'elecció resulta determinant en aquest repartiment.

El sistema de matrícules d'un país està format per un bloc de $4$ dígits (del $0$ al $9$) seguit d'un bloc de $2$ lletres triades d'un alfabet de $20$ consonants. En ambdós blocs es permet la repetició de caràcters. Quantes matrícules diferents es poden emetre en total amb aquest format?

Utilitzant els dígits $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quants nombres parells de $3$ xifres es poden formar si no està permès repetir cap xifra en el mateix nombre?

En informàtica, un byte és una seqüència de $8$ bits (on cada bit pot ser un $0$ o un $1$). Quants bytes diferents existeixen que comencin exactament per la seqüència $10$?

Una empresa té $8$ empleats i ha d'assignar $5$ tasques diferents a $5$ empleats diferents (una tasca per persona). Si es sap que la primera tasca ha de ser realitzada obligatòriament per l'empleat més veterà, de quantes maneres es poden repartir les tasques?

Quants nombres de $4$ xifres es poden formar amb els dígits $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podent repetir xifres) que siguin estrictament majors que $3000$?

En una lliga de bàsquet participen $14$ equips. Cada equip ha de jugar contra tots els altres dues vegades al llarg de l'any (un partit a casa i un altre com a visitant). Quants partits es jugaran en total durant tota la temporada?

Un cadenat de seguretat per a bicicletes té $3$ rodes independents, cadascuna numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferència entre el nombre total de combinacions possibles (permetent repetició) i el nombre de combinacions en les quals els tres dígits han de ser estrictament diferents.

En el codi Morse, les lletres es representen mitjançant seqüències de punts i ratlles. Quants senyals diferents es poden formar utilitzant com a màxim $3$ símbols per senyal?

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) utilitza codis identificatius per catalogar les seves estacions automàtiques a Espanya. Cada codi consta d'una lletra inicial que identifica la demarcació hidrogràfica (s'usen $8$ lletres possibles: B, C, D, E, M, N, S o V) seguida d'un bloc de $4$ dígits numèrics.

1. a) Si els $4$ dígits es trien del $0$ al $9$ i es poden repetir sense restricció, quants codis d'estació diferents es poden generar per a una mateixa demarcació hidrogràfica? I en el conjunt de les $8$ conques?
2. b) Per a una xarxa especial d'alta muntanya es decideix que els $4$ dígits han de ser tots diferents i cap no pot ser el zero. Justifica si aquest nou bloc numèric es modelitza amb variacions ordinàries o amb repetició, i calcula quants codis diferents queden disponibles per demarcació sota aquest criteri.

El departament d'informàtica d'un centre educatiu està creant identificadors temporals d'accés per a l'alumnat. Els codis es generen ordenant $k$ xifres diferents preses del conjunt de nombres senars $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, sense repetir cap xifra dins del mateix codi.

1. a) Si el servidor ha registrat exactament $60$ identificadors possibles en total, planteja una equació utilitzant la definició de variació sense repetició on la incògnita sigui la longitud $k$ del codi, i troba raonadament el seu valor.
2. b) Si les normes de seguretat canviessin i ara es permetés repetir xifres mantenint la mateixa longitud $k$ trobada a l'apartat anterior, quants codis totals es podrien crear? Compara tots dos resultats calculant quants identificadors addicionals es guanyen i explica per què la repetició incrementa les opcions.

En un torneig d'escacs es juga a doble volta (cada jugador s'enfronta a tots els altres dues vegades, alternant el color de les peces). Si es sap que en total s'han disputat $90$ partides, planteja l'equació corresponent utilitzant la fórmula de les variacions i troba quants jugadors van participar en el torneig.

Quants nombres de $4$ xifres diferents es poden formar utilitzant únicament els dígits $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Tingues en compte que, per definició, un nombre vàlid no pot començar per la xifra $0$.

Un nombre capicua és aquell que es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra (per exemple, $35853$). Quants nombres capicues de $5$ xifres es poden formar utilitzant únicament els dígits del $1$ al $9$?

Per accedir a una base de dades segura es requereix una contrasenya de $5$ caràcters. Per seguretat, el sistema exigeix que els dos primers caràcters siguin vocals (es permet que es repeteixin) i els tres últims caràcters han de ser nombres del $0$ al $9$ (sense que cap es repeteixi). Quantes contrasenyes diferents compleixen aquest format?

Una classe està formada per $6$ nois i $5$ noies. Es vol elegir un comitè conformat per presidència, vicepresidència i secretaria. La presidència l'ha d'ocupar obligatòriament una noia, la vicepresidència un noi, i la secretaria la pot ocupar qualsevol dels alumnes restants. De quantes maneres es pot elegir el comitè?

Es vol dissenyar una bandera amb $4$ franges verticals. Es disposa de $5$ colors diferents. De quantes maneres es pot acolorir la bandera si l'única condició és que dues franges adjacents (juntes) no poden tenir el mateix color?

Sabent que el nombre de variacions amb repetició de $x$ elements presos de $2$ en $2$ excedeix en $12$ el nombre de variacions sense repetició dels mateixos $x$ elements presos de $2$ en $2$, planteja l'equació matemàtica corresponent i troba el valor de $x$.

Cinc persones pugen a un vagó de tren en què hi ha $8$ seients lliures. Dues d'aquestes persones són parella i volen seure obligatòriament en un parell de seients contigus específics que estan al costat de la finestra. Sabent que a la parella li importa qui se seuta a la finestra i qui al passadís, de quantes maneres diferents poden ocupar els seients les cinc persones?

Es volen formar nombres de $4$ xifres diferents utilitzant únicament els dígits $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, amb la condició indispensable que el nombre resultant sigui parell. Dos estudiants debaten sobre la millor estratègia per comptar-los:

• Estratègia d'en Sergio (mètode directe): «Primer fixem l'última xifra, que ha de ser parella ($\{2, 4, 6\}$), i després completem les altres $3$ posicions triant i ordenant xifres entre les $6$ restants».

• Estratègia de l'Alba (mètode complementari): «Calculem tots els nombres possibles de $4$ xifres diferents sense restriccions i li restem aquells que acaben en xifra senar».

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes aplicant les fórmules de variacions corresponents i comprova que s'arriba exactament al mateix nombre total.
2. b) Si afegíssim una segona restricció simultània: «el nombre ha de ser parell i a més més gran que $5\,000$», analitza raonadament quin dels dos mètodes resultaria més convenient i descriu quines dificultats afegides plantejaria el mètode descartat.

A la Lliga de Debat d'una comunitat autònoma, els centres educatius presenten equips formats inicialment per $n$ oradors. La competició consta de dues fases amb diferent assignació de papers:

• A la fase local, cada centre ha de seleccionar $2$ dels seus $n$ oradors per exercir rols específics i diferenciats: «orador d'obertura» i «orador de conclusió».

• A la fase autonòmica, l'organització permet ampliar l'equip del centre incorporant $2$ oradors més ($n+2$ oradors en total), i s'han de cobrir $3$ rols diferenciats: «obertura», «refutació» i «conclusió», sense que un estudiant pugui assumir més d'un paper.

L'organització constata que el nombre de ternes possibles d'oradors per a la fase autonòmica és exactament $12$ vegades el nombre de parelles possibles de la fase local.

1. a) Modela la situació plantejant una equació algebraica que relacioni ambdues fases mitjançant la fórmula de les variacions sense repetició.
2. b) Resol l'equació simplificant els desenvolupaments factorials i obtén els possibles valors de $n$.
3. c) Sabent que el reglament exigeix que per a la fase local l'equip compti amb almenys $3$ oradors per garantir suplències ($n \ge 3$), determina raonadament quin és el nombre $n$ d'oradors inicials i comprova que la solució satisfà la condició teòrica $k \le n$ a totes dues fases.