Variaciones
Una permutación ordena todos los elementos de un conjunto. Pero muchas situaciones son distintas: elegir y ordenar solo algunos. ¿De cuántas formas se pueden repartir el oro, la plata y el bronce entre 8 atletas? No ordenas a los 8, solo eliges 3 y los colocas en 3 puestos. Eso es una variación.
Variaciones sin repetición
Razonas igual que con las permutaciones, pero te detienes en el $k$-ésimo factor en vez de llegar hasta 1: para el primer puesto hay $n$ opciones, para el segundo $n-1$, y así hasta el puesto $k$, donde quedan $n-k+1$ opciones.
$$V_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la…
En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la pared derecha. ¿De cuántas formas diferentes se puede organizar esta exposición?
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos…
Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos y cada persona solo puede ocupar uno, ¿de cuántas formas puede formarse la junta?
Variaciones con repetición
¿Y si el mismo elemento puede aparecer más de una vez en la secuencia? Al lanzar un dado 4 veces seguidas, el resultado de cada tirada no depende de las anteriores: el "6" puede salir las 4 veces. Ya no quitas opciones en cada etapa.
$$VR_{n,k} = n^k$$Cada una de las $k$ posiciones tiene siempre las mismas $n$ opciones disponibles, porque nada se "gasta": es el principio de la multiplicación con el mismo factor repetido $k$ veces.
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener…
Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener en total?
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones,…
Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones, ¿de cuántas formas diferentes podemos pintarlos?
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$…
El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$ consonantes. En ambos bloques se permite la repetición de caracteres. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden emitir en total con este formato?
¿Variación, permutación o combinación?
Antes de aplicar una fórmula, responde dos preguntas: ¿se usan todos los elementos o solo una parte? ¿importa el orden en el que quedan?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se…
Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se permite que se repitan) y los tres últimos caracteres deben ser números del $0$ al $9$ (sin que ninguno se repita). ¿Cuántas contraseñas distintas cumplen este formato?
Ecuaciones con variaciones
En problemas inversos, conoces el resultado de $V_{n,k}$ o $VR_{n,k}$ y debes encontrar $n$. Suele bastar con desarrollar la fórmula y resolver la ecuación que queda, probando valores pequeños si es necesario.
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han…
En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han disputado $90$ partidas, plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula de las variaciones y halla cuántos jugadores participaron en el torneo.
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$…
Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$ elementos tomados de $2$ en $2$, plantea la ecuación matemática correspondiente y halla el valor de $x$.