Selecciones sin ordenación
Ya sabes calcular $C_{n,k}$ con la fórmula del factorial. En este apartado le pones nombre y notación propia —el número combinatorio— y lo usas en situaciones más exigentes: ecuaciones, selecciones con condiciones, caminos con restricciones y repartos con un mínimo garantizado.
El número combinatorio
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$: $\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$:
$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios: $\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios:
$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Ecuaciones combinatorias
Cuando la incógnita aparece dentro de un número combinatorio, la estrategia es desarrollar la fórmula del factorial, simplificar y resolver la ecuación resultante (a menudo de primer o segundo grado).
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:
$C_{n, 2} = 45$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria: $\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria:
$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Selecciones con restricciones
Muchos problemas de combinaciones exigen cumplir una condición adicional: un número fijo de cada "tipo", o la presencia obligatoria de un elemento concreto. La clave es separar el recuento por bloques y multiplicar.
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles,…
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se…
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.
Caminos en una cuadrícula
Los números combinatorios también cuentan caminos mínimos: si hay que dar $m$ pasos a la derecha y $p$ hacia arriba, cada camino es una forma de elegir en qué $m$ de las $m+p$ posiciones van los pasos "derecha".
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcula el número de trayectorias distintas que puede seguir.
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determina cuántas rutas válidas existen.
Combinaciones con repetición y mínimos
¿Y si, al elegir unidades repetidas entre varios tipos, cada tipo debe aparecer al menos una vez? Se resuelve en dos pasos: primero se reserva una unidad obligatoria de cada tipo, y luego se reparte el resto sin restricción.
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a…
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada…
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada uno de los $5$ sabores. Calcula de cuántas formas distintas puedes hacer tu pedido.