Exercicis: Sense ordenació

En un torneig d'escacs participen $14$ jugadors. Si cada jugador s'ha d'enfrontar una sola vegada a tots els altres, determina el nombre total de partides que es disputaran en el torneig.

Per preparar una amanida, disposes de $8$ ingredients diferents (enciam, tomàquet, pastanaga, ceba, cogombre, tonyina, blat de moro i olives). Calcula quantes amanides diferents de $4$ ingredients pots elaborar.

Un examen consta de $10$ preguntes. El professor indica que els alumnes han d'escollir i respondre únicament $6$ d'aquestes. Determina de quantes formes diferents pot un alumne seleccionar les preguntes a respondre.

En una reunió de treball hi ha $12$ persones. En acabar, tothom es acomiada encaixant-se la mà una sola vegada. Calcula quantes encaixades de mans es produeixen en total.

Troba el valor de $x$ en la igualtat següent entre nombres combinatoris, sabent que $x \neq 4$:

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calcula el valor de l'expressió següent utilitzant les propietats dels nombres combinatoris:

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extreuen simultàniament $3$ cartes a l'atzar. Determina quants resultats diferents es poden obtenir.

Es marquen $7$ punts sobre una circumferència. Calcula quants segments diferents es poden traçar unint dos d'aquests punts.

Per a l'assignatura de Llengua Castellana i Literatura de 4t d'ESO, el professorat ofereix una llista de 7 lectures recomanades, de les quals cada estudiant n'ha de triar 3 per fer un treball durant el trimestre. En Sergio afirma amb seguretat: «Per triar el primer llibre tinc 7 opcions; per al segon, 6; i per al tercer, 5. Per tant, en total hi ha $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ maneres possibles de triar les meves 3 lectures».

1. a) Identifica l'error conceptual comès per en Sergio i explica per què el seu càlcul genera un nombre molt més gran que les eleccions reals.
2. b) Quantes vegades està comptant en Sergio cada possible grup de 3 llibres? Relaciona la teva resposta amb les permutacions d'aquests 3 elements.
3. c) Escriu la fórmula correcta utilitzant la notació del nombre combinatori $\binom{n}{k}$ i calcula quantes seleccions diferents de 3 llibres es poden fer realment.

En una classe de 24 estudiants de 4t d'ESO s'ha de triar una delegació de convivència formada per 2 representants per assistir a les reunions del centre.

1. a) Abans d'aplicar cap fórmula, fes una estimació raonada sense fer càlculs minuciosos: creus que el nombre de parelles possibles estarà en l'ordre de les desenes, dels centenars o dels milers? Argumenta la teva resposta pensant en les opcions que té cada estudiant.
2. b) Modela la situació mitjançant el nombre combinatori adequat, fes el càlcul i comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada.
3. c) A partir de la propietat de simetria dels nombres combinatoris $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, explica per què triar els 2 representants de la delegació equival matemàticament a triar els 22 estudiants que es queden fora, sense necessitat de calcular factorials addicionals.

Una empresa necessita formar un equip de projecte compost per $3$ enginyers i $2$ economistes. Si a la plantilla hi ha $8$ enginyers i $5$ economistes disponibles, calcula quants equips diferents es poden formar.

En una pastisseria es venen $6$ tipus diferents de pastissos. Determina de quantes formes diferents es poden comprar $4$ pastissos, tenint en compte que se'n poden triar diversos del mateix tipus.

Calcula el nombre total de diagonals que es poden traçar en un polígon regular de $10$ costats (decàgon).

Resol l'equació següent per trobar el valor del nombre natural $n$:

$C_{n, 2} = 45$

S'extreuen $5$ cartes simultàniament d'una baralla espanyola de $40$ cartes (dividida en $4$ colls de $10$ cartes cadascun). Determina en quants dels resultats possibles hi ha exactament $3$ cartes del coll d'oros.

Un robot es desplaça per una quadrícula des del punt $A$ fins al punt $B$. Només pot realitzar moviments cap a la dreta o cap amunt, avançant una intersecció en cada pas. Calcula el nombre de trajectòries diferents que pot seguir.

Disposes de $8$ entrades idèntiques per a un concert i vols repartir-les entre els teus $4$ millors amics. Calcula de quantes formes pots distribuir-les, sabent que a un amic li poden tocar diverses entrades o fins i tot cap.

En un qüestionari de $12$ preguntes, has de contestar obligatòriament un total de $8$. Tanmateix, les $3$ primeres preguntes són de resposta obligatòria. Determina de quantes formes diferents pots completar la teva selecció de preguntes.

En un torneig regional de pàdel federat a Castella-la Manxa, la fase prèvia es disputa per grups independents. A cada grup, totes les parelles inscrites juguen exactament un partit contra cadascuna de les altres parelles del seu mateix grup (sistema de lliga a una sola volta). En tancar l'acta de la fase prèvia, l'organització confirma que al Grup A s'han disputat exactament 45 partits en total.

1. a) Escriu una equació combinatòria utilitzant la notació $\binom{n}{k}$ on intervingui el nombre desconegut $n$ de parelles inscrites al Grup A.
2. b) Desenvolupa algebricament el nombre combinatori per transformar la igualtat en una equació de segon grau en forma general.
3. c) Resol l'equació, analitza les dues solucions obtingudes descartant raonadament la que no tingui sentit en aquest context i indica quantes parelles competien en aquest grup.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) auditarà el manteniment d'una xarxa d'estacions meteorològiques automàtiques a Andalusia. Disposa de 9 estacions situades en zones de muntanya i 6 estacions en zones litorals. El protocol tècnic estableix que s'ha de seleccionar una mostra de 6 estacions composta obligatòriament per 4 estacions de muntanya i 2 estacions litorals.

1. a) Justifica matemàticament per què la selecció de cada categoria s'ha de modelar mitjançant combinacions sense repetició i no mitjançant variacions o permutacions.
2. b) Aplica el principi de multiplicació combinatòria per calcular quantes mostres diferents de 6 estacions es poden configurar complint la quota establerta.
3. c) Si per raons tècniques es decideix que l'estació de muntanya situada a Sierra Nevada ha de formar part de la mostra de manera obligatòria, calcula quantes mostres distintes de 6 estacions (4 de muntanya i 2 de costa) es poden seleccionar ara.

Un hospital ha de formar un equip de guàrdia nocturna de $5$ persones, seleccionat d'un grup de $7$ metges i $6$ infermers. Calcula quants equips diferents es poden formar si la normativa exigeix que l'equip contingui com a mínim $3$ metges.

En una quadrícula formada per $9$ punts distribuïts en $3$ files i $3$ columnes, determina quants triangles diferents es poden formar utilitzant aquests punts com a vèrtexs. Tingues en compte que tres punts alineats no formen un triangle.

Troba el valor de $x$ que satisfà l'equació combinatòria següent:

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$

El joc de la Loteria Primitiva consisteix a triar $6$ nombres d'un total de $49$. Si ja es coneix la combinació guanyadora de $6$ nombres, calcula quantes apostes diferents de les possibles obtindrien exactament $4$ encerts.

Un robot es desplaça per una quadrícula des del node $A$ fins al node $B$, movent-se únicament cap a la dreta i cap amunt. Ha de passar obligatòriament pel node $C$ per recollir un paquet. Determina quantes rutes vàlides hi ha.

En una gelateria ofereixen $5$ sabors diferents. Vols comprar $8$ tarrines de gelat per a una festa, però vols assegurar-te de portar com a mínim una tarrina de cadascun dels $5$ sabors. Calcula de quantes formes diferents pots fer la teva comanda.

Una urna conté $6$ boles vermelles, $5$ boles blaves i $4$ boles verdes. S'extreuen $4$ boles simultàniament. Calcula quants resultats diferents contenen exactament $2$ boles vermelles i com a mínim $1$ bola blava.

El joc del dominó tradicional arriba fins al doble sis (les puntuacions van del $0$ al $6$). Un fabricant decideix crear un "superdominó" que arribi fins al doble nou (les puntuacions van del $0$ al $9$). Calcula quantes fitxes en total tindrà aquest nou joc i quantes d'aquestes no seran dobles.

Un tribunal mèdic per a l'avaluació de les proves del sistema MIR al Ministeri de Sanitat ha d'estar format per 6 persones, seleccionades d'un equip compost per 4 especialistes en Medicina Familiar i Comunitària i 7 especialistes en Medicina Interna. La normativa exigeix que al tribunal resultant figuri, com a mínim, un especialista en Medicina Familiar i Comunitària.

Dos vocals del comitè proposen mètodes diferents per calcular el nombre de tribunals vàlids:

• Mètode 1 (Directe): Dividir el problema en casos disjunts segons el nombre de metges de família (1, 2, 3 o 4), calcular les combinacions de cada cas multiplicant pels internistes necessaris i sumar tots els resultats.

• Mètode 2 (Complementari): Calcular tots els tribunals possibles de 6 persones que es poden formar amb els 11 metges disponibles sense cap restricció i restar els tribunals no vàlids (aquells on no hi ha cap especialista en Medicina Familiar).

1. a) Desenvolupa completament ambdós mètodes plantejant els seus nombres combinatoris i comprova numèricament que tots dos condueixen al mateix resultat.
2. b) Compara críticament ambdós mètodes: quin consideres més eficient en temps i amb menor risc d'error de càlcul en una situació d'examen? Justifica la teva elecció analitzant el nombre d'operacions de cadascun.
3. c) Si la normativa canviés i exigís que al tribunal hi hagi «com a mínim 3 especialistes en Medicina Familiar», continuaria sent el mètode complementari més curt que el directe? Justifica la teva resposta raonant sobre la quantitat de casos favorables respecte als desfavorables.

En el traçat ortogonal del districte de l'Eixample de Barcelona, un repartidor de paqueteria en bicicleta s'ha de desplaçar des de la cruïlla A fins a la cruïlla B. Per optimitzar la seva ruta, el repartidor només avança cap a l'est o cap al nord a cada cruïlla, i necessita un trajecte exacte de 5 illes cap a l'est i 3 illes cap al nord (un total de 8 illes de desplaçament).

1. a) Modela el trajecte mitjançant combinatòria: explica per què qualsevol ruta òptima de 8 illes equival a triar els torns d'avanç en una de les dues direccions i calcula quantes rutes diferents uneixen A amb B mitjançant l'expressió $\binom{m+p}{m}$.
2. b) La Guàrdia Urbana ha tancat per obres la cruïlla intermèdia C, situada exactament a 2 illes a l'est i 1 illa al nord del punt A. Modela quantes de les rutes possibles passarien forçosament per la cruïlla C i dedueix quantes rutes alternatives lliures d'obres queden disponibles per al repartidor.
3. c) Suposa que el repartidor ha de lliurar obligatòriament un paquet urgent a la cruïlla D (ubicada a 4 illes a l'est i 2 al nord d'A) i que la cruïlla C continua tancada. Planteja i calcula l'expressió combinatòria que determina quantes rutes diferents permeten anar d'A fins a B passant obligatòriament per D però evitant en tot moment la cruïlla tallada C.

Repte del tema. Com influeixen l'ordre i la selecció en formar un comitè juvenil? Dissenya una proposta matemàtica basada en dades demogràfiques reals.

1. Obtenció de dades: Entra al web de l'INE i localitza els $8$ noms més freqüents de la teva província en el teu any de naixement.

2. Modelització combinatòria: Amb aquests $8$ noms com a candidats, calcula i justifica:

3. Elecció de president, secretari i vocal (càrrecs diferenciats on importa l'ordre): variacions $V_{8,3}$.

4. Comissió de convivència de $3$ vocals iguals (agrupació sense ordenació): combinacions $C_{8,3}$.

5. Posicions possibles per a una fotografia en fila dels $8$ membres: permutacions $P_8$.

6. Full de càlcul i informe: Dissenya una taula en un full de càlcul que calculi automàticament $V_{n,3}$, $C_{n,3}$ i $P_n$ per a valors de $n$ entre $5$ i $12$. Redacta un breu informe raonant per què $C_{n,3}$ és sempre menor que $V_{n,3}$ i assessora el teu centre sobre quin sistema (càrrecs diferenciats o comissió sense càrrecs) és més adequat, explicant per què un nombre més gran de configuracions possibles no implica per si sol més diversitat en el comitè.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades de l'INE i correcció del càlcul combinatori ($V$, $P$ i $C$).

• Domini eficaç del full de càlcul en l'automatització de fórmules.

• Argumentació clara sobre el paper de l'ordre en la presa de decisions.