Exercicis: Escala d'àrees i volums

Dues figures planes són semblants amb raó de semblança $k = 3$.

a) Per quin nombre es multipliquen les longituds?

b) Per quin nombre es multiplica l'àrea?

c) Si fossin cossos geomètrics, per quin nombre es multiplicaria el volum?

Dos quadrats són semblants amb raó $k = 2$. Si el petit té $5$ cm de costat:

a) Quant mesura el costat del gran?

b) Quines són les àrees dels dos quadrats?

Un cub té $4$ cm d'arista i un altre cub, semblant a ell, té l'arista el doble de llarga.

a) Quin és el volum de cada cub?

b) Quantes vegades és més gran el volum del cub gran que el del petit?

En un pla a escala $1:100$, una habitació ocupa $12\ \text{cm}^2$. Quina és la seva superfície real? Expressa-la en metres quadrats.

S'amplia una foto de $40\ \text{cm}^2$ en una fotocopiadora al $150\%$. Quina superfície té l'ampliació?

En una maqueta a escala $1:50$, un dipòsit té un volum de $80\ \text{cm}^3$. Quin és el volum del dipòsit real? Expressa'l en metres cúbics.

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions:

a) Si duplico els costats d'un rectangle, duplico la seva àrea.

b) La raó de les àrees de dues figures semblants és el quadrat de la raó de semblança.

c) Si la raó de semblança de dos cossos és $2$, el volum del gran és $8$ vegades el del petit.

d) En un pla a escala $1:50$, un centímetre quadrat del pla representa $50\ \text{cm}^2$ reals.

Observa els dos rectangles semblants de la figura.

a) Comprova que la raó de semblança és $3$.

b) Si l'àrea del rectangle petit és $8\ \text{cm}^2$, quina és l'àrea del gran?

Error d'altri. En Marcos vol imprimir una pancarta publicitària per a les festes del barri a partir d'un esbós que fa $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ (superfície: $600\text{ cm}^2$). Per a la pancarta final decideix triplicar la mida de tots els costats, aplicant una raó de semblança $k = 3$. A la impremta, en Marcos calcula el cost dient: «Com que he multiplicat els costats per $3$, necessitaré exactament el triple de lona i de tinta, és a dir, $3 \cdot 600 = 1800\text{ cm}^2$».\n\na) Sense necessitat de calcular les noves mesures dels costats, explica amb les teves paraules per què el raonament d'en Marcos és erroni basant-te en la relació entre longituds i àrees.\nb) Corregeix el càlcul: quina serà la superfície real de la pancarta en $\text{cm}^2$ i en $\text{m}^2$? Per quin nombre es multiplica realment la despesa de lona i tinta?

Estima i comprova. Una gelateria artesanal ven terrines cilíndriques semblants de dues mides. La terrina «Petita» té un diàmetre de $6\text{ cm}$ i una capacitat de $125\text{ ml}$. La terrina «Gegant» és exactament semblant a la petita, però el seu diàmetre fa $12\text{ cm}$.\n\na) Estima: Abans de fer operacions amb fórmules, reflexiona: en duplicar-se el diàmetre, la terrina gegant contindrà el doble de gelat ($250\text{ ml}$), el quàdruple ($500\text{ ml}$) o força més? Escriu la teva predicció raonant breument en què et bases.\nb) Comprova: Troba la raó de semblança lineal $k$ i calcula la capacitat exacta de la terrina gegant en mil·lilitres.\nc) Compara el resultat amb la teva estimació inicial i valora si és raonable que la terrina gegant costi el triple que la petita, tenint en compte la quantitat de gelat que conté.

Per a la maqueta d'un barri s'han construït dues casetes semblants amb raó de semblança $1,5$. La caseta petita va necessitar $7,2\ \text{dm}^2$ de cartolina i el seu volum interior és de $6,4$ litres.

a) Quanta cartolina es necessitarà per a la caseta gran?

b) Quin serà el seu volum interior?

Dues peixeres són semblants: la petita mesura $40$ cm de llarg i la gran, $80$ cm.

a) Quina és la raó de semblança?

b) Si el vidre de la peixera petita va costar $30\text{ €}$, quant costarà el de la gran, al mateix preu per superfície?

c) Si omplir d'aigua la petita costa $5\text{ €}$, quant costarà omplir la gran?

Una artista pinta un mural a partir d'un esbós de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicant una raó d'escala $k = 8$.

a) Quines dimensions tindrà el mural?

b) Quina superfície tindrà?

c) Si un pot de pintura cobreix $2\ \text{m}^2$, quants pots necessitarà com a mínim?

En el pla d'una urbanització, dibuixat a escala $1:75$, un jardí rectangular ocupa $96\ \text{cm}^2$. Quina és la superfície real del jardí en metres quadrats?

Una drassana construeix una maqueta d'un veler a escala $1:40$ que pesa $3$ kg. Si el vaixell real es construís amb els mateixos materials i la mateixa densitat mitjana, quant pesaria? Expressa el resultat en tones.

Una escultura i la seva miniatura de record són semblants amb raó $5$.

a) Si per pintar la miniatura es gasten $120$ ml de pintura, quants litres faran falta per pintar l'escultura?

b) Si la miniatura pesa $2$ kg i totes dues són del mateix material, quant pesa l'escultura?

En un pla a escala $1:2\,000$, un camp de futbol ocupa $17,5\ \text{cm}^2$.

a) Quina és la seva superfície real en metres quadrats?

b) S'acosta a la superfície reglamentària d'un camp de futbol, d'uns $7\,000\ \text{m}^2$?

Observa els dos cubs de la figura: el petit té $2$ cm d'aresta i el gran, $6$ cm. El volum del cub petit és $8\ \text{cm}^3$.

a) Quina és la raó de semblança?

b) Calcula el volum del cub gran sense fer servir la fórmula del volum del cub, a partir del volum del petit.

c) Si l'àrea total del cub petit és $24\ \text{cm}^2$, quina és l'àrea total del gran?

Problema invers. Una empresa de paqueteria sostenible vol redissenyar la seva caixa estàndard de cartó. Encarregaran un nou model amb exactament la mateixa forma (semblant), però reduint les dimensions perquè la superfície total de cartó necessària sigui un $64\,\%$ de la superfície de la caixa original (és a dir, l'àrea de la nova caixa és $0,64$ vegades l'àrea de l'antiga).\n\na) Planteja la relació entre les àrees i obtén la raó de semblança lineal $k$ entre la caixa nova i l'original.\nb) Si l'alçària de la caixa original era de $35\text{ cm}$, quant ha de fer l'alçària del nou model?\nc) Quin percentatge del volum original conservarà la nova caixa? Es redueix el volum en la mateixa proporció que el cartó? Justifica la teva resposta interpretant l'escala de volums.

Modelitza. Una cooperativa d'oli de Jaén comercialitza el seu oli d'oliva verge extra gurmet en ampolles de vidre de disseny semblant en dos formats: una ampolla individual de $100\text{ ml}$ i una ampolla familiar de $800\text{ ml}$.\n\na) Totes dues ampolles són cossos geomètrics semblants. A partir de les seves capacitats, determina la raó de semblança lineal $k$ entre l'ampolla familiar i la individual.\nb) Si l'ampolla individual té una alçària de $14\text{ cm}$, quina alçària tindrà l'ampolla familiar?\nc) Si l'etiqueta adhesiva que envolta l'ampolla individual té una superfície de $25\text{ cm}^2$, quants centímetres quadrats farà l'etiqueta de l'ampolla familiar?\nd) Per fabricar el cos de l'ampolla individual s'utilitzen $120\text{ g}$ de vidre fos (que forma exclusivament la paret exterior del recipient, el gruix de la qual és el mateix en tots dos formats). Un operari afirma que per a l'ampolla familiar caldran $960\text{ g}$ de vidre ($8$ vegades més). Raona si l'operari té raó o no, indicant la quantitat real aproximada de vidre que es requereix.

a) La raó de les àrees de dues figures planes semblants és $9$. Quina és la raó de semblança entre els seus costats? I la raó entre els seus perímetres?

b) Els volums de dos cossos semblants estan en raó $\frac{27}{8}$. Quina és la raó de semblança?

c) Les àrees de dues parcel·les semblants estan en raó $\frac{1}{4}$. Quina és la raó dels seus costats?

Un projector forma un quadrat d'$1,5$ m de costat sobre una pantalla situada a $3$ m. En allunyar la pantalla fins a $6$ m, la imatge continua sent quadrada, com es mostra a la figura.

a) Quina és la raó de semblança entre les dues imatges? Quant mesura el costat del quadrat a $6$ m?

b) Quantes vegades més gran és l'àrea de la imatge llunyana que la de la propera?

c) Com que la mateixa quantitat de llum es reparteix per tota la superfície, amb quina fracció de lluminositat per metre quadrat es veu la imatge a $6$ m respecte a $3$ m?

d) A quina distància caldria col·locar la pantalla perquè l'àrea de la imatge fos $9$ vegades la inicial?

Una empresa de mudances vol «duplicar la capacitat» de les seves caixes cúbiques i decideix fabricar-les amb l'arista el doble de llarga. El cap afirma: «Així hi cabrà el doble de coses».

a) Explica l'error del cap.

b) Quantes vegades més capacitat tindrà realment la caixa nova?

c) Si la caixa petita té un volum de $27\ \text{dm}^3$, quin serà el volum de la nova?

Dos dipòsits cilíndrics són semblants i la raó de les seves altures és $2$. Omplir d'aigua el dipòsit petit costa $15\text{ €}$ i pintar la seva superfície exterior costa $40\text{ €}$.

a) Quant costarà omplir d'aigua el dipòsit gran?

b) Quant costarà pintar la seva superfície exterior?

c) Un operari afirma que «tot costarà el doble, perquè el dipòsit és el doble de gran». Corregeix la seva afirmació fent servir els resultats anteriors i explica per què s'equivoca.

Tria el mètode. Un estudi d'arquitectura dissenya la coberta d'un poliesportiu municipal composta per $150$ plaques triangulars diferents entre si unides com un mosaic polièdric. A l'estudi construeixen una maqueta a escala $1:20$ ($k = 20$). Després de mesurar la maqueta, saben que la superfície total de plàstic de les $150$ plaques suma exactament $1,2\text{ m}^2$. Per encarregar les plaques de policarbonat de l'obra real, dos arquitectes discuteixen com procedir:\n\n- Mètode de l'Alba: Mesurar amb peu de rei els tres costats de cadascun dels $150$ triangles a la maqueta, multiplicar cada longitud per $20$, calcular l'àrea de cada triangle real i sumar les $150$ àrees obtingudes.\n- Mètode d'en Bruno: Prendre la superfície total de la maqueta ($1,2\text{ m}^2$) i multiplicar-la directament per $k^2 = 20^2 = 400$.\n\na) Compara tots dos mètodes: quin dels dos és preferible des del punt de vista de l'eficiència i de l'acumulació d'errors d'arrodiment? Justifica la teva elecció.\nb) Aplica el mètode més convenient per calcular la superfície total de policarbonat que s'ha de comprar per a la coberta real.\nc) Si el metre quadrat de policarbonat costa $38\text{ \euro}$, quin serà el cost del material de la coberta?

Modelitza i transfereix. Un escultor fon en bronze una estàtua commemorativa. Per comprovar l'equilibri i calcular el pressupost, fabrica primer una maqueta massissa de $20\text{ cm}$ d'alçària, que pesa $1,5\text{ kg}$ i la base de suport de la qual té una àrea de $75\text{ cm}^2$. L'escultura monumental definitiva farà $3\text{ m}$ d'alçària i es fondrà amb el mateix aliatge de bronze.\n\na) Determina la raó de semblança lineal $k$ entre l'escultura real i la maqueta.\nb) Si l'estàtua monumental es fabriqués totalment massissa (igual que la maqueta), quina seria la seva massa en quilograms i en tones?\nc) Quina superfície ocuparà la base de suport de la gran escultura al pedestal?\nd) La pressió que suporta el pedestal sota l'escultura és proporcional a $\frac{\text{Massa}}{\text{Àrea}}$. Expressa com es transforma aquesta fracció en funció de $k$ i demostra per què l'escultura gran exerceix una pressió molt més gran per centímetre quadrat que la maqueta. Quina solució tècnica adopten els escultors en la realitat per evitar aquest problema de sobrepès?

Repte del tema. Alguna vegada has volgut calcular l'alçària d'un element del teu entorn sense pujar-hi i planificar la seva rèplica? Converteix-te en topògraf i dissenyador tècnic des de casa.

1. Presa de dades i Tales: En un dia assolellat, mesura amb un metre la teva alçària ($h_1$) i la longitud de la teva ombra ($s_1$). Mesura alhora l'ombra projectada per un objecte alt proper ($s_2$, com un fanal o un arbre). Aplicant semblança de triangles i el teorema de Tales, dedueix la seva alçària real ($h_2$).

2. Aplicació de Pitàgores: Prenent $s_2$ i $h_2$ com a catets d'un triangle rectangle, aplica el teorema de Pitàgores per trobar la distància real des de la cúspide de l'objecte fins a l'extrem de la seva ombra.

3. Escales en full de càlcul: Planteja una maqueta a escala $1:20$ ($k = 0,05$). En un full de càlcul (o GeoGebra), tabula les mesures reals i de la maqueta. Calcula l'escala d'àrees ($k^2$) per estimar la superfície de material que gastaries i l'escala de volums ($k^3$) per comparar la capacitat o massa de la rèplica enfront de l'original.

Elabora un informe breu amb les teves dades, operacions justificades i captura del teu full de càlcul.

Es valorarà:

• Rigor geomètric en aplicar Tales i Pitàgores amb mesures preses per tu.

• Deducció correcta i ús de les escales $k$, $k^2$ i $k^3$ al full de càlcul.

• Claredat, ordre i justificació matemàtica a l'informe final.