Exercicis: Conceptes

La Sara té dues fotografies del seu gos. La primera mesura $10 \text{ cm}$ d'ample i $15 \text{ cm}$ d'alt. La segona és una ampliació que mesura $20 \text{ cm}$ d'ample i $30 \text{ cm}$ d'alt. Són aquestes dues fotografies figures semblants? Justifica la teva resposta comprovant si les dimensions són proporcionals.

Calcula la raó de semblança $k$ que converteix el rectangle $A$ en el rectangle $B$, sabent que el costat menor de $A$ mesura $4 \text{ cm}$ i el costat menor de $B$ mesura $12 \text{ cm}$. Es tracta d'una ampliació o d'una reducció?

En Lucas ha dibuixat un triangle amb angles de $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$. Si decideix crear un nou triangle semblant duplicant la mesura de tots els seus costats, quant mesuraran els angles del nou triangle? Explica què passa amb els angles de dues figures quan són semblants.

A la pantalla del seu mòbil, en Marcos veu un mapa a una escala determinada. Si la raó de semblança entre el mapa de la pantalla i la realitat és $k = \frac{1}{5000}$, indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

• a) El mapa és una reducció de la realitat.

• b) $1 \text{ cm}$ al mapa representa $5000 \text{ cm}$ en la realitat.

• c) Els angles entre els carrers canvien al mapa perquè puguin cabre a la pantalla.

Un logotip té forma de pentàgon regular amb un costat de $3 \text{ cm}$. Per a la façana d'una botiga, es fabrica un logotip semblant amb una raó de semblança $k = 15$. Quant mesurarà el costat del nou logotip?

Observa els parells de rectangles següents. Indica, sense fer càlculs complexos, quin d'ells no pot ser semblant a l'original i explica per què fixant-te en la seva forma.

Si tenim dos polígons semblants amb una raó de semblança $k = 2,5$, i el perímetre del polígon petit és de $20 \text{ cm}$, quin serà el perímetre del polígon major? Recorda la relació que hi ha entre la raó de semblança i els perímetres.

Dibuixa en una quadrícula una lletra "L" que ocupi $2$ quadradets d'ample i $4$ d'alt. A continuació, dibuixa al seu costat una altra lletra "L" que sigui semblant però amb una raó de semblança $k = 0,5$. Quants quadradets d'alt tindrà la nova figura?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La Carla té una làmina rectangular de $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ per a l'assignatura d'Educació Plàstica i gasta exactament un tub de $60\text{ ml}$ de témpera per cobrir-la completament. Per a una exposició a l'institut, vol fer-ne una versió ampliada i semblant multiplicant la longitud de tots els seus costats per $3$ (és a dir, amb raó de semblança $k = 3$). El seu company Hugo li diu: «Com que els costats mesuren el triple, necessitaràs el triple de pintura; així que compra $3$ tubs de $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$) i en tindràs prou».\na) Assenyala l'error de raonament que comet l'Hugo i explica, fent servir les propietats de les figures semblants, per què la quantitat de pintura no és proporcional a la raó $k$.\nb) Calcula quants mil·lilitres de témpera i quants tubs sencers de pintura necessitarà la Carla en realitat per pintar la làmina gran.

L'ajuntament pintarà a terra d'un parc una pista poliesportiva infantil que serà semblant a una pista reglamentària de futbol sala. La pista reglamentària fa $40\text{ m}$ de llarg per $20\text{ m}$ d'ample. La pista infantil tindrà una llargada de $20\text{ m}$.\na) Sense fer càlculs detallats encara, estima de manera raonada: el perímetre de la pista infantil serà la meitat o la quarta part de la pista reglamentària? I la seva superfície (àrea), serà la meitat, la quarta part o la vuitena part?\nb) Calcula ara la raó de semblança $k$, el perímetre de totes dues pistes i l'àrea de totes dues pistes.\nc) Comprova si les teves estimacions de l'apartat a) coincideixen amb els valors calculats i justifica la relació matemàtica obtinguda entre la raó de semblança, els perímetres i les àrees.

Un il·lustrador està dissenyant dues versions d'un mateix logotip rectangular. El logotip original té unes dimensions de $12\text{ cm}$ de llarg i $8\text{ cm}$ d'amplada. Si vol crear una versió ampliada que sigui semblant i el llarg de la qual mesuri $30\text{ cm}$:

1. Calcula la raó de semblança $k$ de l'ampliació.

2. Determina l'amplada del nou logotip.

3. Si el perímetre del logotip petit és de $40\text{ cm}$, quin serà el perímetre del gran? Utilitza la relació entre perímetres de figures semblants per comprovar-ho.

Calcula el valor del segment desconegut $x$ en la figura següent, sabent que les rectes $r$, $s$ i $t$ són paral·leles. Aplica el Teorema de Tales i expressa el resultat amb dues xifres decimals.

Dos triangles, $ABC$ i $A'B'C'$, estan en posició de Tales. El triangle petit té costats que mesuren $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ i $AC = 4\text{ cm}$. Si el costat corresponent $AB'$ del triangle major mesura $12,5\text{ cm}$:

1. Quina és la raó de semblança entre el triangle major i el menor?

2. Troba la longitud dels costats $B'C'$ i $AC'$.

3. Comprova que el quocient entre les seves àrees és igual al quadrat de la raó de semblança.

Un arquitecte ha dibuixat el plànol d'una habitació a escala 1:50. Al plànol, l'habitació és un rectangle de $12\text{ cm}$ de llarg per $8\text{ cm}$ d'ample.

1. Calcula les dimensions reals de l'habitació en metres.

2. L'arquitecte vol col·locar una catifa que ocupa $6\text{ m}^2$ en la realitat. Quina àrea ocuparà aquesta catifa al plànol (en $\text{cm}^2$)?

3. Si decidís canviar l'escala a 1:100, com variarien les mesures del dibuix respecte al plànol anterior?

Per mesurar l'altura d'una torre d'alta tensió, un tècnic observa que en un moment determinat la torre projecta una ombra de $18\text{ metres}$. Al mateix temps, col·loca un bastó vertical de $1,5\text{ metres}$ d'altura que projecta una ombra de $2,25\text{ metres}$.

1. Justifica per què els triangles formats per la torre i la seva ombra, i el bastó i la seva, són semblants.

2. Calcula l'altura de la torre.

Determina si els parells de triangles següents són semblants i indica quin criteri de semblança has utilitzat en cada cas:

• Cas A: El triangle 1 té angles de $40^\circ$ i $75^\circ$. El triangle 2 té angles de $75^\circ$ i $65^\circ$.

• Cas B: El triangle 1 té costats de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. El triangle 2 té costats de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ i $16\text{ cm}$.

• Cas C: Tots dos triangles tenen un angle de $50^\circ$. En el primer, els costats que formen aquest angle mesuren $4\text{ cm}$ i $7\text{ cm}$. En el segon, mesuren $8\text{ cm}$ i $14\text{ cm}$.

En un triangle rectangle, l'altura sobre la hipotenusa la divideix en dos segments (projeccions dels catets) que mesuren $3,6\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$.

1. Calcula l'altura del triangle utilitzant el Teorema de l'Altura.

2. Calcula la longitud dels catets utilitzant el Teorema del Catet.

3. Dibuixa un esquema del triangle indicant tots els valors trobats.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Disposem de dos envasos de suc cilíndrics que són semblants. L'envàs petit té una altura de $10\text{ cm}$ i una capacitat de $250\text{ ml}$. L'envàs gran té una altura de $20\text{ cm}$.

1. Quina és la raó de semblança $k$ entre l'envàs gran i el petit?

2. Calcula la capacitat (volum) de l'envàs gran en litres. Recorda la relació entre la raó de semblança i el volum de cossos semblants.

3. Si l'àrea de la base del petit és de $25\text{ cm}^2$, quina serà l'àrea de la base del gran?

El pati interior d'un centre cultural de la teva comunitat autònoma té forma de trapezi amb una àrea total de $54\text{ m}^2$ i el seu costat més gran mesura $12\text{ m}$. A consergeria volen encarregar una maqueta semblant del pati per exposar-la en una vitrina envidrada. Per les dimensions de la vitrina, l'àrea de la maqueta ha de ser exactament de $6\text{ m}^2$.\na) Sabent que la relació entre àrees de figures semblants depèn de $k^2$, planteja l'equació corresponent i calcula la raó de semblança $k$ de la maqueta respecte al pati real.\nb) Determina quant ha de mesurar a la maqueta el costat corresponent al costat més gran de $12\text{ m}$.\nc) Si el perímetre complet del pati real mesura $36\text{ m}$, quants centímetres de llistó de fusta faran falta per vorejar el perímetre de la maqueta?

En un taller de disseny gràfic estan preparant una banderola triangular per a una campanya sobre l'ús del transport públic. L'esbós inicial és un triangle rectangle amb catets que mesuren $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$. Per al suport final necessiten una banderola semblant amb una raó d'ampliació $k = 4$. Per esbrinar la superfície de roba que ocuparà la banderola gran, dos dissenyadors proposen mètodes diferents:\n- Mètode de la Lucía: Calcular primer les noves mesures dels catets multiplicant-los per $4$ i, amb ells, calcular l'àrea del triangle gran mitjançant la fórmula $(\text{base} \cdot \text{altura}) / 2$.\n- Mètode del Mateo: Calcular primer l'àrea de l'esbós inicial i multiplicar-la directament per la raó al quadrat ($k^2$).\na) Resol el problema aplicant tots dos mètodes pas a pas i comprova numèricament si s'arriba al mateix resultat.\nb) Si la figura no fos un triangle senzill, sinó un logotip amb forma de polígon irregular de $7$ costats del qual ja coneixem l'àrea inicial ($35\text{ cm}^2$), quin dels dos mètodes triaries i per què? Justifica la teva elecció valorant la quantitat de dades i càlculs necessaris.

Una empresa de perfums llança dos formats del seu flascó estrella, que tenen forma de piràmide quadrangular semblant. El flascó "Gran" té una base de superfície $144 \text{ cm}^2$ i una altura de $15 \text{ cm}$. El flascó "Mini" ha sigut dissenyat perquè la seva superfície total de vidre sigui exactament la novena part de la superfície del flascó "Gran". Si el cost del perfum és de $0,25$ € per cada $\text{cm}^3$, calcula la diferència de preu entre el contingut de tots dos flascons.

Un artista de carrer vol projectar l'ombra d'una escultura vertical de $2,4 \text{ m}$ d'altura sobre una paret que està a $6 \text{ m}$ de distància. Per a fer-ho, col·loca un focus a terra a una distància $d$ de l'escultura. Si desitja que l'ombra projectada a la paret tingui exactament $8 \text{ m}$ d'altura, a quina distància de l'escultura ha de col·locar el focus? Utilitza el Teorema de Tales per justificar la teva resposta i dibuixa l'esquema dels triangles semblants.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un triangle rectangle $ABC$ (recte a $A$), es traça l'altura $h$ sobre la hipotenusa, dividint-la en dos segments $m$ i $n$. Es sap que el catet $b$ mesura $15 \text{ cm}$ i la seva projecció sobre la hipotenusa, $n$, mesura $9 \text{ cm}$. Calcula el perímetre i l'àrea del triangle original utilitzant els Teoremes del Catet i de l'Altura.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un plànol d'un habitatge està dibuixat a escala $1:75$. En aquest plànol, la cuina té una forma rectangular de $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. El propietari vol reformar el terra amb rajoles quadrades de $40 \text{ cm}$ de costat.

1. a) Calcula la superfície real de la cuina en metres quadrats.
2. b) Quantes rajoles completes es necessiten, com a mínim, per cobrir el terra de la cuina real? (Tingues en compte que els retalls de les rajoles es poden aprofitar, però només es poden comprar rajoles senceres).

Dos pentàgons regulars són semblants. El perímetre del primer és de $75 \text{ cm}$. Es sap que l'àrea del segon és $1,44$ vegades l'àrea del primer.

1. a) Determina la raó de semblança $k$ entre el segon pentàgon i el primer.
2. b) Calcula el perímetre del segon pentàgon.
3. c) Si l'apotema del primer pentàgon mesura $10,32 \text{ cm}$, quant mesurarà el radi de la circumferència circumscrita del segon pentàgon? (Arrodoneix a dos decimals).

Un televisor de $50$ polzades té una relació d'aspecte de $16:9$ (això significa que la base i l'altura són proporcionals a $16$ i $9$). Sabent que $1$ polzada equival a $2,54 \text{ cm}$ i que les "polzades" d'un televisor es refereixen a la mesura de la seva diagonal:

1. a) Calcula les dimensions reals (base i altura) del televisor en centímetres.
2. b) Si una imatge de $800 \times 450$ píxels es mostra a pantalla completa sense deformar-se, quina és la superfície de cada píxel a la pantalla real?

Una maqueta d'un rascacels feta a escala $1:250$ té un volum de $320 \text{ cm}^3$ i la seva base té una superfície de $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Calcula l'altura real del rascacels en metres.
2. b) Si l'edifici real es recobrirà amb panells de vidre que costen $120$ € el metre quadrat, calcula el cost total de recobrir la façana (superfície lateral), sabent que el rascacels té forma de prisma recte i que la maqueta té una superfície lateral de $180 \text{ cm}^2$.

Un municipi del sud d'Espanya aplica un pla d'estalvi d'aigua a causa de la sequera i necessita modelitzar el consum de les piscines del seu poliesportiu municipal. Tenen dues piscines amb forma de prisma recte que són semblants entre si (tenen la mateixa forma i proporcions en llargada, amplada i profunditat): la piscina de xipolleig i la piscina recreativa d'adults. La piscina de xipolleig mesura $10\text{ m}$ de llarg i té una capacitat de $30\text{ m}^3$ d'aigua ($30.000\text{ litres}$). La piscina d'adults mesura $25\text{ m}$ de llarg.\na) Modela la situació identificant la raó de semblança $k$ que transforma les mesures de la piscina de xipolleig en les d'adults.\nb) Calcula el volum total d'aigua, en metres cúbics i en litres, necessari per omplir la piscina d'adults.\nc) Abans d'omplir-les, cal aplicar una capa de resina protectora al fons i a les quatre parets interiors. Si per a la piscina de xipolleig s'han fet servir $16\text{ kg}$ de resina, calcula quants quilograms es necessitaran per a la d'adults.\nd) Explica per què l'increment en la despesa de pintura/resina no coincideix amb l'increment en la despesa d'aigua en comparar totes dues instal·lacions.

Un mestre xocolater d'Astorga elabora figures massisses semblants amb forma de campana tradicional. La figura petita fa $10\text{ cm}$ d'alçària, pesa $125\text{ g}$ i es ven a $3,50$ €. Per a un encàrrec especial d'una confraria, vol fabricar una campana gegant semblant que pesi exactament $1\text{ kg}$ ($1.000\text{ g}$). Totes dues figures es fan amb el mateix tipus de xocolata pura, per la qual cosa la seva massa és directament proporcional al seu volum.\na) A partir de la relació entre les masses (volums), dedueix el valor de la raó de semblança lineal $k$ entre la campana gegant i la petita.\nb) Quina alçària tindrà la campana gegant?\nc) Per embolicar-la s'utilitza paper cel·lofana metal·litzat. Si la campana petita requereix $180\text{ cm}^2$ de paper per quedar totalment coberta, calcula la superfície de paper necessària per embolicar la campana gegant.\nd) El client afirma: «Com que l'alçària de la campana gegant és el doble que la de la petita, el preu just hauria de ser el doble: $7,00$ €». Justifica matemàticament si l'afirmació del client és correcta o no, i raona quin hauria de ser el preu de la campana gegant si es cobra proporcionalment a la quantitat de xocolata utilitzada.