Exercicis: Exercicis i aplicacions de la semblança

La maqueta d'un nou poliesportiu està construïda a escala $1:200$. Si la piscina olímpica mesura $25 \text{ cm}$ de llargada a la maqueta, quants metres mesurarà la piscina en la realitat?

Per mesurar l'alçària d'un arbre al pati de l'institut, aprofitem un dia assolellat. Un llistó clavat verticalment a terra que mesura $1,5 \text{ m}$ d'alçària projecta una ombra de $0,9 \text{ m}$. Si en aquest mateix instant l'ombra de l'arbre mesura $6 \text{ m}$, quina és l'alçària de l'arbre?

Un mapa de carreteres té una escala $1:50.000$. Si la distància entre dos pobles veïns al mapa és de $12 \text{ cm}$, quants quilòmetres de distància real els separen?

Tenim dos rectangles semblants. El primer mesura $8 \text{ cm}$ d'amplada i $12 \text{ cm}$ d'alçària. Si el segon té una amplada de $20 \text{ cm}$, quina ha de ser la seva alçària perquè mantingui la mateixa forma?

En la figura següent, les rectes $r$ i $s$ són tallades per tres rectes paral·leles entre si. Sabent que els segments sobre la recta $r$ mesuren $AB = 3 \text{ cm}$ i $BC = 4 \text{ cm}$, i que el segment corresponent sobre la recta $s$ és $A'B' = 4,5 \text{ cm}$, calcula la longitud del segment $B'C'$.

Per decorar una paret, volem ampliar una fotografia que mesura $10 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$ fins que el seu costat major mesuri $1,2 \text{ metres}$. Quant mesurarà el costat menor de la fotografia ampliada?

Un telèfon intel·ligent de $6 \text{ polzades}$ de diagonal té una pantalla que mesura $13,2 \text{ cm}$ d'alçària i $7,4 \text{ cm}$ d'amplada. Si volem veure el mateix contingut en una tauleta que és exactament el doble de gran (raó de semblança $k=2$), quines seran les dimensions de la pantalla de la tauleta?

Calcula el valor del segment desconegut $x$ en la figura següent, sabent que els dos triangles estan en posició de Tales:

Marcos vol imprimir una pancarta gegant per a les festes patronals del seu poble a partir d'un cartell publicitari original. El cartell original fa $40\text{ cm}$ d'amplada per $60\text{ cm}$ de llargada, i el seu cost d'impressió va ser de $8$ €. Per a la pancarta gran, Marcos decideix triplicar totes dues dimensions (raó de semblança $k = 3$), de manera que faci $120\text{ cm} \times 180\text{ cm}$. En el seu pressupost escriu: «Com que les noves dimensions són el triple de les originals, la quantitat de tinta i el cost de la pancarta seran el triple, és a dir, $8 \cdot 3 = 24$ €».\n\na) Identifica l'error en el raonament de Marcos i explica amb les teves paraules per què el cost no es triplica.\nb) Utilitzant la relació entre les àrees de figures semblants, calcula el cost real que tindrà imprimir la pancarta gegant.

Estàs d'excursió pel Parc Nacional de Monfragüe (Càceres) i vols esbrinar l'altura d'una torre mirador de fusta sense pujar-hi. A les $11:30$ del matí, claves a terra horitzontal un bastó de senderisme d'$1,20\text{ m}$ d'alçària, que projecta una ombra de $80\text{ cm}$. En aquest mateix instant, mesures l'ombra que projecta la torre sobre el terra pla i obtens $6,4\text{ m}$.\n\na) Abans de fer cap càlcul numèric formal, fes una estimació raonada: l'altura de la torre serà més gran o més petita que la longitud de la seva ombra? Creus que superarà els $10\text{ m}$?\nb) Planteja la proporció de semblança entre les altures i les ombres per calcular amb exactitud l'altura del mirador.\nc) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i valora si el resultat és coherent amb la realitat.

Un creador de contingut està gravant un vídeo a l'exterior. Per calcular l'alçària d'una escultura moderna, col·loca el seu trípode, que mesura $1,20$ metres d'alçària, de manera que projecta una ombra de $90$ cm a terra. En aquest mateix instant, l'ombra de l'escultura mesura $4,5$ metres. Quina alçària té l'escultura?

Al plànol d'un habitatge a escala $1:75$, la sala d'estar té forma rectangular amb unes dimensions de $8$ cm de llargada i $6$ cm d'amplada. Calcula la superfície real de la sala d'estar en metres quadrats ($m^2$).

Dues pantalles de televisió són semblants. La primera té una diagonal de $32$ polzades i la seva superfície és d'aproximadament $2800$ $cm^2$. Si la segona pantalla té una diagonal de $48$ polzades:

1. Quina és la raó de semblança entre la pantalla gran i la petita?

2. Quina superfície ocupa la pantalla de $48$ polzades?

Per renovar el disseny d'una prestatgeria, un fuster col·loca tres prestatges paral·lels tallats per dos llistons laterals, com es mostra a la figura. Si les meures dels segments en un dels llistons són $AB = 25$ cm i $BC = 40$ cm, i en l'altre llistó el segment homòleg a $AB$ mesura $A'B' = 30$ cm, quant mesurarà el segment $B'C'$?

Un artista ha realitzat una escultura de bronze que pesa $12$ kg i mesura $40$ cm d'alçària. Si vol fer una rèplica exacta del mateix material però amb una alçària de $1$ metre, quant pesarà la nova escultura? (Tingues en compte que el pes és proporcional al volum).

Dos municipis, A i B, estan separats per $18$ km en la realitat. En un mapa de carreteres, aquesta distància es representa mitjançant un segment de $12$ cm.

1. Calcula l'escala del mapa.

2. Si dos pobles més estan separats en el mateix mapa per $7,5$ cm, quina és la seva distància real en quilòmetres?

Calcula l'altura de l'edifici ($x$) utilitzant la semblança dels triangles que es formen a la figura. Els ulls de la persona estan a $1,60$ m del terra, la distància de la persona a la tanca és de $2$ m i la distància de la tanca a l'edifici és de $10$ m. L'altura de la tanca és de $2,40$ m.

Una fotografia rectangular de $10 \times 15$ cm es vol ampliar per fer un pòster. Si volem que el costat més llarg de l'ampliació sigui de $1,2$ metres:

1. Quant mesurarà el costat curt del pòster?

2. Quantes vegades és més gran l'àrea del pòster que l'àrea de la fotografia original?

A les obres de modernització del port de València s'està instal·lant una rampa de càrrega per a vehicles pesants. El perfil lateral de la rampa té forma de triangle rectangle, recolzat sobre la seva hipotenusa al terra horitzontal. Just al vèrtex de l'angle recte es col·loca un pilar vertical de suport d'alçària $h$ perpendicular a terra, el qual divideix la longitud total de la base en dos trams: un de $4,5\text{ m}$ i un altre de $8\text{ m}$.\n\na) Modela la situació identificant quins elements del triangle rectangle representen els dos trams del terra i l'alçària del pilar.\nb) Calcula l'alçària exacta que ha de tenir el pilar vertical aplicant el teorema de l'altura ($h^2 = m \cdot n$).\nc) Determina la longitud dels dos trams inclinats de la rampa (els catets) aplicant el teorema del catet ($b^2 = m \cdot c$).\nd) Comprova que els tres costats del triangle rectangle global compleixen el teorema de Pitàgores.

Un estudi de paisatgisme de Sevilla ha de dissenyar dues zones enjardinades amb gespa de forma triangular i estrictament semblants. El parterre petit té una àrea de $12\text{ m}^2$ i el seu costat més llarg fa $6\text{ m}$. El plec de condicions tècniques de l'ajuntament imposa que el parterre gran ha de tenir exactament una àrea de $108\text{ m}^2$.\n\na) Determina la raó entre les àrees dels dos parterres i dedueix a partir d'aquesta quina ha de ser la raó de semblança lineal $k$ entre els seus costats.\nb) Quant farà el costat més llarg del parterre gran?\nc) Si per rodejar tot el perímetre del parterre petit s'han fet servir $16\text{ m}$ de vorada metàl·lica, calcula quants metres de vorada faran falta per tancar el parterre gran. Justifica la teva resposta sense necessitat de calcular la mesura dels altres dos costats individuals.

Un dissenyador de videojocs està creant dos models d'una torre defensiva. El model petit té una superfície lateral de $150 \text{ cm}^2$ i un volum de $250 \text{ cm}^3$. Si el model gran ha de tenir una superfície lateral de $600 \text{ cm}^2$ perquè els detalls es vegin bé:

1. a) Quina és la raó de semblança $k$ entre les longituds de tots dos models?
2. b) Quin serà el volum del model gran?
3. c) Si per fabricar el model petit s'han necessitat 40 grams de resina, quants quilos de resina es necessitaran per fabricar 10 models grans?

Per mesurar l'alçària de la Giralda de Sevilla sense usar instruments complexos, un grup d'alumnes utilitza un mirall col·locat a terra. L'alumne més alt, que mesura $1,85 \text{ m}$, es col·loca a una distància tal que veu la punta de la torre reflectida al centre del mirall. El mirall està a $120 \text{ m}$ de la base de la torre i l'alumne està a $2,3 \text{ m}$ del mirall. Si els ulls de l'alumne estan a $10 \text{ cm}$ de la part superior del seu cap:

1. a) Dibuixa un esquema de la situació identificant els triangles semblants.
2. b) Calcula l'alçària de la torre sabent que l'angle d'incidència de la llum és igual al de reflexió.
3. c) Si un altre alumne de $1,60 \text{ m}$ d'alçària, amb els ulls també a $10 \text{ cm}$ de la part superior del seu cap, volgués veure el mateix sense moure el mirall, a quina distància del mirall s'hauria de col·locar?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un mapa d'escala $1:25.000$, una reserva natural té forma de trapezi. Al paper, les seves bases mesuren $4 \text{ cm}$ i $6 \text{ cm}$, i la seva alçària és de $3 \text{ cm}$.

1. a) Calcula l'àrea de la reserva al mapa en $\text{cm}^2$.
2. b) Utilitzant la raó de semblança de les àrees, calcula l'àrea real de la reserva en quilòmetres quadrats ($\text{km}^2$).
3. c) Si el govern decideix ampliar la reserva augmentant totes les seves dimensions lineals un $20\%$, quina serà la nova superfície real?

Una càmera fosca és una caixa tancada amb un forat petit pel qual entra la llum projectant la imatge d'un objecte exterior a la paret oposada. Si tenim una caixa de $25 \text{ cm}$ de profunditat i volem fotografiar un arbre de $12 \text{ m}$ d'alçària que es troba a una distància de $30 \text{ m}$ de la càmera:

1. a) Quina alçària tindrà la imatge de l'arbre projectada dins la caixa?
2. b) Si acostem la càmera a l'arbre fins que la imatge projectada mesuri el doble, a quina distància de l'arbre estarem?
3. c) Quina és la raó de semblança entre l'objecte real i la imatge en aquest últim cas?

En el triangle rectangle de la figura, la hipotenusa mesura $25 \text{ cm}$. L'alçària relativa a la hipotenusa, $h$, divideix aquesta en dos segments, $m$ i $n$. Si sabem que el catet $b$ mesura $15 \text{ cm}$:

1. a) Calcula la mesura de la projecció $m$ utilitzant el teorema del catet.
2. b) Calcula el valor de l'alçària $h$ utilitzant el teorema de l'alçària.
3. c) Troba l'àrea i el perímetre del triangle total.

Dos edificis verticals estan separats per un carrer de $20 \text{ m}$ d'amplada. L'edifici més alt mesura $45 \text{ m}$ i el més baix $30 \text{ m}$. Des del terrat de l'edifici més baix, s'observa la base de l'edifici alt. En aquest mateix radi visual s'interposa un fanal que està a $5 \text{ m}$ de l'edifici baix.

1. a) Quina alçària ha de tenir el fanal perquè la seva part superior estigui exactament en aquesta línia visual?
2. b) Si des del terrat de l'edifici alt llancem un cable recte fins al terrat de l'edifici baix, quina longitud tindrà el cable?
3. c) A quina alçària de terra es creuaria aquest cable amb el fanal (suposant que el fanal és prou alt)?

Un parc té forma d'hexàgon regular de $40 \text{ m}$ de costat. Es vol construir una font circular al seu centre que sigui semblant a una font petita de $2 \text{ m}$ de diàmetre que hi ha a l'entrada. Si la raó de semblança entre el radi del cercle inscrit a l'hexàgon (apotema) i el radi de la font ha de ser $4$:

1. a) Calcula l'apotema de l'hexàgon (pots usar Pitàgores).
2. b) Calcula el diàmetre de la nova font central.
3. c) Quina és la raó entre l'àrea del parc i l'àrea de la font central?

Es vol dividir un terreny triangular de $300 \text{ m}^2$ de superfície en dues parcel·les mitjançant una tanca paral·lela a un dels seus costats. La tanca es col·loca de manera que talla els altres dos costats a un terç de distància des del vèrtex superior comú.

1. a) Quina és la raó de semblança entre el triangle petit (superior) i el terreny original?
2. b) Calcula l'àrea de cadascuna de les dues parcel·les resultants.
3. c) Si la base del terreny original mesurava $30 \text{ m}$, quant mesurarà la nova tanca?

En el disseny d'una encavallada de fusta amb forma de triangle rectangle per a la teulada d'un habitatge bioclimàtic, la biga vertical de reforç coincideix amb l'altura sobre la hipotenusa. La biga inferior horitzontal (la hipotenusa) fa $25\text{ m}$ i la projecció del vessant menor sobre el terra fa $9\text{ m}$. Cal calcular la longitud exacta de la biga vertical de reforç ($h$).\n\nPer resoldre-ho, dos estudiants d'arquitectura proposen camins diferents:\n- Lucía diu: «Primer calculo l'altra projecció sobre el terra restant a la hipotenusa total ($n = 25 - 9 = 16\text{ m}$) i després calculo directament $h$ amb el teorema de l'altura».\n- Sofía diu: «Primer calculo el vessant menor (el catet) amb el teorema del catet i, un cop tingui aquest costat, aplico el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que formen aquest catet, la seva projecció de $9\text{ m}$ i l'altura $h$».\n\na) Desenvolupa completament tots dos mètodes amb les fórmules corresponents i verifica si s'arriba al mateix valor per a $h$.\nb) Compara els dos procediments i justifica de manera crítica quin dels dos és preferible quant a economia d'operacions i menor probabilitat de cometre errors d'arrodiment o càlcul.\nc) Si en una altra teulada no coneguéssim la hipotenusa total, sinó únicament la longitud del catet i la seva projecció, es podria continuar utilitzant el mètode de Lucía sense calcular prèviament la hipotenusa? Justifica-ho.

L'Institut Geogràfic Nacional (IGN) publica mapes a escala $1:25\,000$. Un equip de prevenció d'incendis de la Junta d'Andalusia analitza sobre el plànol una zona forestal de Sierra Mágina que té forma de triangle rectangle. Al mapa oficial, la hipotenusa d'aquest triangle fa $10\text{ cm}$ i la projecció d'un dels seus catets sobre la hipotenusa fa $3,6\text{ cm}$.\n\na) Utilitzant els teoremes de l'altura i del catet directament sobre les mesures del plànol, troba les longituds dels dos catets i de l'altura sobre la hipotenusa (en centímetres de paper).\nb) Calcula l'àrea de la zona forestal al mapa (en $\text{cm}^2$). A continuació, determina la superfície real d'aquesta zona en hectàrees ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$) utilitzant exclusivament la raó de semblança entre àrees $k^2$, sense passar prèviament cada costat a metres reals. Explica per què aquest procediment és més directe.\nc) Si les brigades forestals tenen com a protocol de neteja desbrossar una franja perimetral de seguretat i avancen a un ritme mitjà d'$1,2\text{ km}$ lineals al dia, quants dies complets de feina necessitaran per recórrer i assegurar tot el perímetre real del recinte triangular?