Exercicis: Els nombres primers

En un videojoc d'estratègia, necessites classificar els cristalls d'energia segons la seva puresa. Els cristalls amb nombres primers donen energia extra, mentre que els nombres compostos han de ser processats.

Classifica els nombres següents a la taula de la teva llibreta:

$11, 15, 23, 27, 31, 39, 42, 47, 51$

Per organitzar les prestatgeries d'una biblioteca escolar, el bibliotecari utilitza els criteris de divisibilitat. Sense fer la divisió llarga, indica quins dels nombres següents són divisibles per $3$ i quins per $5$:

1. a) $123$
2. b) $405$
3. c) $1.020$
4. d) $715$

La Criba d'Eratòstenes és un mètode antic per trobar nombres primers tatxant els múltiples de nombres anteriors. Observa el gràfic següent dels nombres del $1$ al $20$:

Copia la graella al teu quadern i completa el procés fins al nombre $50$ per identificar tots els nombres primers menors que $50$.

A classe de Matemàtiques estem aprenent a descompondre nombres en els seus blocs fonamentals: els factors primers. Realitza la descomposició factorial (fent servir la "ratlla vertical") dels nombres següents:

1. a) $24$
2. b) $60$
3. c) $100$

Un programador està creant una llista de tots els divisors del nombre $30$ per a un algorisme de seguretat.

Utilitza la seva descomposició en factors primers per trobar tots els seus divisors naturals.

Una botiga de llaminadures vol empaquetar $20$ piruletes de maduixa i $28$ de llimona en bosses iguals, de manera que tinguin el màxim nombre de piruletes possible sense barrejar-les. Per fer-ho han de calcular el Màxim Comú Divisor (M.C.D.).

A la figura, cada divisió de les barres representa una piruleta.

Calcula el M.C.D. de $20$ i $28$ i explica quantes piruletes hi haurà a cada bossa.

Dos amics corren en una pista circular. L'Ana triga $8$ minuts a fer una volta i en Borja triga $12$ minuts. Si surten junts de la línia de meta, quants minuts passaran fins que tornin a coincidir per primera vegada a la meta?

Fes servir el mínim comú múltiple (m.c.m.) per resoldre-ho.

Sabies que els nombres primers s'utilitzen per crear codis de seguretat a internet? Un codi secret és un nombre primer més gran que $40$ i més petit que $50$. Quins nombres podrien ser el codi? Comprova la teva resposta fent servir els criteris de divisibilitat.

En Marcos afirma a la classe de Matemàtiques: «El nombre $91$ és primer perquè he comprovat que no és divisible entre $2$ (és senar), ni entre $3$ (les seves xifres sumen $10$), ni entre $5$ (no acaba en $0$ ni en $5$). Com que ja he provat amb els primers nombres primers, no cal continuar».\na) Explica quin és el criteri que indica fins a quin nombre primer cal provar divisions per esbrinar amb certesa si un nombre $N$ és primer.\nb) Fins a quin nombre primer hauria d'haver provat en Marcos per al nombre $91$?\nc) Localitza l'error d'en Marcos, explica per què la seva deducció és falsa i determina si $91$ és primer o compost justificant la teva resposta amb una divisió.

Abans de fer cap càlcul per escrit, concentra't en el nombre $72$:\na) Estima: Creus que $72$ tindrà més o menys de $8$ divisors? Escriu almenys quatre divisors que se t'acudin mentalment de manera immediata per fonamentar la teva estimació inicial.\nb) Calcula: Fes la descomposició en factors primers de $72$ i aplica la fórmula del nombre de divisors, $(a+1)(b+1)\dots$, per trobar la quantitat exacta.\nc) Comprova: Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i redacta una breu conclusió explicant si la teva intuïció inicial era encertada i a què es deu que un nombre menor que $100$ pugui tenir aquesta quantitat de divisors.

En un joc d'estratègia en línia, per desbloquejar un cofre necessites introduir una clau de quatre xifres de la forma $52X4$. Si el sistema t'indica que la clau és un nombre divisible per $3$ i per $4$ simultàniament, quins són tots els possibles valors que pot prendre la xifra $X$? Raona la teva resposta aplicant els criteris de divisibilitat corresponents.

Una aplicació de missatgeria utilitza un filtre de seguretat que només permet passar missatges l'identificador dels quals sigui un nombre primer. Classifica els identificadors següents en nombres primers o nombres compostos, justificant la teva decisió en cada cas mitjançant la cerca d'algun divisor diferent de la unitat i el mateix nombre:

1. a) $119$
2. b) $131$
3. c) $143$
4. d) $151$
5. e) $203$

Observa l'arbre de factors incomplet següent que representa la descomposició d'un nombre natural. La teva tasca és completar-lo i escriure finalment la descomposició factorial d'aquest nombre fent servir potències de factors primers.

En una estació de metro de Madrid coincideixen tres línies a les $07:00$ del matí. La línia $L1$ passa cada $12$ minuts, la línia $L2$ cada $15$ minuts i la línia $L5$ cada $20$ minuts. A la figura es marquen els passos de cada línia durant els primers $40$ minuts des de les $07:00$.

1. a) Quants minuts han de transcórrer perquè tornin a coincidir per primera vegada?

1. b) A quina hora exacta es produirà aquesta trobada?

Un banc d'aliments ha rebut una donació de $120$ pots de llegums, $150$ litres de llet i $72$ llaunes de conserva. Volen preparar el nombre més gran possible de caixes iguals per repartir a famílies necessitades, sense que sobri res de cap producte.

1. a) Quantes caixes poden preparar com a màxim?
2. b) Quina quantitat de cada producte portarà cadascuna d'aquestes caixes?

Se sap que el màxim comú divisor de dos nombres és $m.c.d.(a, b) = 15$ i que el seu producte és $a \cdot b = 6750$. Utilitza la relació matemàtica entre el producte de dos nombres i els seus divisors/múltiples comuns per trobar el mínim comú múltiple d'aquests nombres sense necessitat de calcular-los per separat.

S'anomenen nombres primers gemells aquelles parelles de nombres primers que estan separats únicament per un nombre parell (és a dir, la seva diferència és $2$). Per exemple, $3$ i $5$ són primers gemells.

1. a) Troba totes les parelles de nombres primers gemells menors que $60$.
2. b) És la parella $(21, 23)$ una parella de primers gemells? Justifica la teva resposta.

Calcula el valor numèric dels nombres $A$ i $B$ a partir de les seves descomposicions factorials i, posteriorment, troba el $m.c.m.(A, B)$ i el $m.c.d.(A, B)$.

$A = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$B = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$

Indica si $A$ i $B$ són primers entre si i explica per què basant-te en el resultat del màxim comú divisor.

Per comprovar si el nombre $173$ és primer, dos companys de classe plantegen dues estratègies diferents:\n- Estratègia de la Lucía: Anar dividint $173$ entre tots els nombres senars consecutius des del $3$ fins a arribar a la meitat del nombre ($86$), és a dir: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, \dots, 85$.\n- Estratègia d'en Guille: Calcular mentalment entre quins nombres enters està $\sqrt{173}$ i provar de dividir $173$ únicament entre els nombres primers que siguin menors o iguals que aquesta arrel.\na) Compara les dues estratègies i justifica per què la d'en Guille estalvia feina sense perdre fiabilitat. En particular, explica per què no cal provar amb nombres compostos com el $9$ o el $15$, i per què és segur aturar-se en l'arrel quadrada.\nb) Aplica l'estratègia d'en Guille efectuant les divisions necessàries i conclou si $173$ és primer o compost.

En un municipi de la província de Cuenca, el cens electoral d'una mesa auxiliar registra exactament $105$ votants convocats per a uns comicis locals. El coordinador necessita organitzar els votants en grups o torns de franja horària que tinguin exactament el mateix nombre de persones, amb les condicions que a cada torn hi hagi més d'un votant i que no es faci un únic torn amb tots els electors.\na) Descompon $105$ en factors primers i utilitza la fórmula $(a+1)(b+1)(c+1)\dots$ per calcular quants divisors té en total.\nb) Dedueix quantes maneres diferents hi ha d'organitzar els torns sota les condicions del coordinador i escriu totes les parelles possibles de (nombre de torns, votants per torn).\nc) Si a última hora s'empadronen $4$ persones més i el cens passa a ser de $109$ votants, seria possible organitzar torns iguals amb les mateixes condicions? Aplica el mètode dels nombres primers fins a $\sqrt{N}$ per comprovar si $109$ és primer i justifica les conseqüències organitzatives.

Un expert en ciberseguretat està dissenyant un sistema de xifratge per a una aplicació de missatgeria. La clau de seguretat principal és un nombre $N$ que s'obté multiplicant una parella de nombres primers gemells compresos entre $100$ i $110$. No obstant això, en revisar la llista, se n'adona que en aquest interval hi ha dues parelles de primers gemells, de manera que l'elecció no és única. Per solucionar el problema, decideix que la clau serà el producte dels dos nombres primers més propers a $105$ (un per sota i l'altre per sobre).

Determina quins són aquests dos nombres primers, comprova de manera raonada que ho són mitjançant el mètode de l'arrel quadrada i calcula el valor de la clau de seguretat $N$.

En una exhibició de gimnàstica rítmica, hi ha un grup de $p$ gimnastes. El coreògraf intenta organitzar les esportistes en files i columnes per formar un rectangle perfecte, però observa que l'única manera de fer-ho és col·locant-les totes en una sola fila. En afegir una gimnasta més al grup, el nombre total de persones $(p+1)$ es converteix en un nombre que té exactament 8 divisors.

Si se sap que $40 < p < 60$, identifica tots els valors possibles de $p$, demostra que $p$ és un nombre primer i troba totes les formes possibles d'organitzar el grup de $(p+1)$ gimnastes en rectangles de més d'una fila.

La conjectura de Goldbach afirma que tot nombre parell més gran que 2 es pot escriure com la suma de dos nombres primers. La teva tasca és investigar aquesta conjectura per al nombre $120$.

Cerca i escriu totes les parelles de nombres primers que tinguin com a suma exactament $120$. Per demostrar que els nombres triats són realment primers, selecciona la parella els components de la qual estiguin més allunyats entre si i aplica el criteri de divisibilitat dels nombres primers menors que $\sqrt{n}$ per a cadascun d'ells.

Un arquitecte està dissenyant una plaça circular i vol col·locar fanals a la vora. El nombre de fanals ha de ser un nombre primer $n$. Perquè la il·luminació sigui estètica, l'arquitecte ha descobert que si resta 1 al nombre de fanals $(n-1)$, el resultat ha de ser un nombre la descomposició en factors primers del qual sigui $2^3 \cdot 3^2$.

Calcula el valor de $n$, justifica per què és un nombre primer i representa en un diagrama d'arbre la descomposició factorial del nombre compost $(n-1)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es diu que un nombre natural és "especial" si és el producte de tres nombres primers diferents i menors que $20$. Un exemple seria $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Troba el nombre "especial" més gran possible i el més petit possible. A continuació, esbrina quants divisors té cadascun d'aquests dos nombres sense necessitat d'enumerar-los tots, utilitzant únicament els exponents de la seva descomposició factorial.

Esbrina els valors de la xifra $X$ perquè el nombre $35X1$ sigui un nombre primer. Per fer-ho, segueix aquests passos:

1. Aplica els criteris de divisibilitat per descartar valors de $X$ que el facin divisible per $3$ o $11$.

2. Dels valors restants, utilitza el mètode de l'arrel quadrada per comprovar quins generen un nombre primer. Tingues en compte que només cal provar la divisibilitat per nombres primers fins a la part sencera de $\sqrt{35X1}$.

Dos cometes passen a prop de la Terra de manera periòdica. El cometa A passa cada $p$ anys, i $p$ és un nombre primer. El cometa B passa cada $q$ anys, i $q$ és el nombre primer consecutiu següent a $p$. Avui passa el cometa A i se sap que l'última vegada que van coincidir va ser fa $77$ anys i que aquesta va ser la primera vegada que es veien des que es té constància històrica.

Si $p$ i $q$ són nombres de dues xifres, identifica de quins nombres es tracta i calcula quants anys hauran de passar perquè tornin a coincidir de nou.

Considera els nombres naturals entre $90$ i $100$.

1. a) Classifica'ls en primers i compostos.
2. b) Per als nombres compostos, indica quin d'ells té la quantitat més gran de divisors diferents.
3. c) Existeix algun nombre en aquest interval que sigui el resultat d'elevar un nombre primer a una potència més gran que 1? Justifica la teva resposta.

Un nombre natural $N$ té exactament $8$ divisors i en la seva descomposició factorial només apareixen el $2$ i el $3$ com a factors primers.\na) Sabent que la fórmula del nombre de divisors és $(a+1)(b+1) = 8$, planteja quines parelles d'exponents naturals no nuls $(a, b)$ poden tenir el $2$ i el $3$ perquè el resultat sigui exactament $8$.\nb) A partir de les parelles trobades, escriu les descomposicions factorials possibles i calcula els valors numèrics que pot prendre el nombre $N$.\nc) Quin d'aquests nombres és el menor? Explica raonadament com influeix col·locar l'exponent més gran sobre la base menor ($2$) o sobre la base major ($3$) a l'hora d'obtenir el valor més petit possible.

Analitza la relació que hi ha entre els exponents de la descomposició factorial d'un nombre natural i la quantitat total dels seus divisors:\na) Un nombre natural és un «quadrat perfecte» si prové d'elevar al quadrat un altre nombre natural (per exemple, $36 = 6^2$). Demostra raonadament, utilitzant la fórmula $(a+1)(b+1)\dots$, per què tot quadrat perfecte té obligatòriament un nombre senar de divisors, mentre que els nombres que no són quadrats perfectes tenen una quantitat parella de divisors.\nb) Seguint un procés invers, determina quin és el nombre natural més petit que té exactament $9$ divisors. Mostra pas a pas com dedueixes quins factors primers i quins exponents ha de tenir perquè sigui el mínim possible.\nc) Comprova si el nombre que has obtingut a l'apartat b) és o no un quadrat perfecte i justifica per què aquest fet concorda amb la teva demostració de l'apartat a).