Exercicis: Màxim comú divisor

Calcula el màxim comú divisor (m.c.d.) dels nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers (recorda: es prenen els factors comuns elevats al menor exponent):

1. a) $12$ i $18$
2. b) $20$ i $30$
3. c) $15$ i $25$

Observa els divisors dels nombres $24$ i $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir d'aquestes llistes:

1. a) Escriu els divisors comuns de tots dos nombres.
2. b) Identifica quin és el més gran d'aquests divisors comuns. Com anomenem aquest nombre?

En un campament d'aventura al Pirineu, els monitors tenen dues cordes d'escalada: una mesura $20$ metres i l'altra $28$ metres. Volen tallar-les en trossos iguals, de la major longitud possible i sense que sobri gens de corda. Quant ha de mesurar cada tros?

En una classe de 2n d'ESO hi ha $24$ alumnes nois i $16$ alumnes noies. El professor d'Educació Física vol formar equips de la mateixa mida, tan grans com sigui possible, de manera que a cada equip només hi hagi nois o només noies.

1. a) Quants alumnes hi haurà a cada equip?
2. b) Quants equips de nois i quants de noies es formaran?

Un agricultor de Jaén ha produït $45$ litres d'oli d'oliva verge i $60$ litres d'oli de gira-sol. Vol envasar-los en garrafes iguals que tinguin la màxima capacitat possible i sense barrejar els dos tipus d'oli. Quina capacitat haurà de tenir cada garrafa?

Volem decorar una paret de l'aula de música que fa $120$ cm d'alt per $180$ cm d'amplada amb cartolines quadrades. Si volem que les cartolines siguin tan grans com sigui possible i que cobreixin la paret exactament sense haver de tallar-les:

1. a) Quant ha de mesurar el costat de cada cartolina?
2. b) Quantes cartolines necessitarem en total?

Dos nombres es diuen prims entre si si el seu únic divisor comú és l'$1$. Comprova si les parelles de nombres següents són primes entre si calculant el seu màxim comú divisor:

1. a) $8$ i $15$
2. b) $14$ i $21$
3. c) $9$ i $20$

La Maria té una cinta de color blau de $18$ cm i una cinta vermella de $24$ cm. Necessita tallar-les en tires de la mateixa longitud per fer uns llaços decoratius. Si vol que les tires siguin tan llargues com sigui possible i no vol malbaratar gens de cinta:

1. a) Quina serà la longitud de cada tira?
2. b) Quantes tires obtindrà de cada color?

Marcos ha de calcular el màxim comú divisor de $72$ i $120$. Després de descompondre els dos nombres en factors primers, escriu al seu quadern:

I conclou: «Com que el m.c.d. és el màxim, trio tots els factors que apareixen elevats al seu major exponent: $\text{m.c.d.}(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$».

1. a) Sense fer càlculs complexos, explica per què el resultat de Marcos és impossible raonant sobre el significat de la paraula «divisor».
2. b) Quin concepte ha calculat realment Marcos en lloc del m.c.d.?
3. c) Explica la regla correcta per calcular el m.c.d. a partir de les descomposicions factorials i troba el resultat correcte.

Has de calcular el màxim comú divisor de $48$ i $80$, però abans d'aplicar cap algorisme has d'anticipar com serà la solució:

1. a) Estima: Sense descompondre els nombres en factors primers, respon de manera raonada:

• Pot el resultat ser més gran que $48$? Per què?

• Sabent que tant $48$ com $80$ són parells, podria el resultat ser un nombre senar?

• Comprova mentalment si $10$ podria ser un divisor comú de tots dos. Per què es descarta immediatament?

1. b) Comprova: Descompon $48$ i $80$ en factors primers, calcula el $\text{m.c.d.}(48, 80)$ i comprova si el valor obtingut compleix totes les deduccions que has fet a la teva estimació.

Calcula el Màxim Comú Divisor dels grups de nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Recorda expressar primer cada nombre com a producte dels seus factors primers i després seleccionar els factors comuns elevats al menor exponent.

Una botiga d'artesania té dues cintes de seda, una de color carmesí que mesura $160$ cm i una altra de color turquesa que mesura $120$ cm. Volen tallar totes dues cintes en trossos de la mateixa longitud, de manera que siguin el més llargs possible i no sobri res de tela.

1. a) Quant ha de mesurar cada tros?

1. b) Quants trossos de color carmesí s'obtindran? I de color turquesa?

Per al torneig de convivència de l'institut, s'han inscrit $48$ alumnes de 1r d'ESO i $60$ alumnes de 2n d'ESO. Es volen formar equips amb el mateix nombre de persones, sense barrejar alumnes de cursos diferents i de manera que els equips siguin tan nombrosos com sigui possible.

1. a) Quants alumnes hi haurà a cada equip?
2. b) Quants equips de 1r d'ESO hi haurà en total? I de 2n d'ESO?

Un operari municipal vol enrajolar una zona rectangular d'un parc que mesura $24$ metres de llarg per $18$ metres d'ample. Per a fer-ho, utilitzarà rajoles quadrades tan grans com sigui possible i no vol haver de tallar-ne cap.

1. a) Determina la mida del costat de cada rajola.
2. b) Calcula el nombre total de rajoles que es necessitaran per a cobrir tota la superfície.

Un banc d'aliments ha rebut $210$ llaunes de conserva de tonyina, $126$ paquets d'arròs i $84$ pots de llegums. Volen preparar el màxim nombre possible de caixes d'ajuda idèntiques que continguin els tres tipus d'aliments, de manera que no sobri res.

1. a) Quantes caixes d'ajuda podran preparar?
2. b) Quants productes de cada tipus hi haurà a cadascuna de les caixes?

L'Algorisme d'Euclides és un mètode antic i eficaç per a trobar el $m.c.d.$ de dos nombres mitjançant divisions succesives. Consisteix a dividir el més gran entre el més petit; si el residu no és zero, es divideix el divisor entre el residu, i així positivament fins que el residu sigui zero. L'últim divisor utilitzat és el $m.c.d.$

Utilitza aquest mètode per a trobar el $m.c.d.(525, 225)$. Comprova el resultat realitzant després la descomposició factorial habitual.

Es sap que el producte de dos nombres naturals és $2160$ i que el seu mínim comú múltiple ($m.c.m.$) és $180$. Utilitzant la relació que hi ha entre el producte de dos nombres, el seu $m.c.d.$ i el seu $m.c.m.$, esbrina quin és el Màxim Común Divisor d'aquests nombres.

Un col·leccionista de còmics té tres prestatgeries amb les quantitats següents: $135$ exemplars de superherois, $90$ de manga i $60$ de còmics europeus. Vol guardar-los en arxivadors iguals amb el mateix nombre d'exemplars cadascun, sense barrejar-los i de manera que el nombre d'arxivadors sigui el mínim possible (és a dir, que cada arxivador estigui tan ple com sigui possible).

1. a) Quants còmics ha de posar a cada arxivador?
2. b) Quants arxivadors necessitarà en total per a tota la seva col·lecció?

Per calcular el màxim comú divisor de dos nombres disposes de diferents estratègies:

• Mètode A (Criteri de divisibilitat directa): Si el nombre més gran és divisible entre el menor, el menor és directament el m.c.d.

• Mètode B (Llista exhaustiva de divisors): Escriure tots els divisors dels dos nombres i buscar el més gran que coincideixi.

• Mètode C (Descomposició factorial): Descompondre en factors primers i seleccionar els comuns amb el menor exponent.

Analitza les dues parelles de nombres següents:

1) $28$ i $112$

2) $90$ i $126$

Per a cadascuna de les dues parelles:

1. a) Tria raonadament quin dels tres mètodes és el més ràpid i eficient, justificant per què descartes els altres dos en aquest cas concret.
2. b) Aplica el mètode triat per calcular el m.c.d. de cada parella.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén vol preparar lots promocionals idèntics per a una fira gastronòmica. Disposa de tres varietats embotellades: $168$ ampolles d'oli picual, $252$ ampolles d'oli arbequina i $336$ ampolles d'oli hojiblanca.

Volen empaquetar tot l'oli en caixes iguals, de manera que cada caixa tingui exactament la mateixa quantitat d'ampolles de cada varietat, sense barrejar ampolles de manera descompensada i sense que sobri cap ampolla solta. A més, per amortitzar els envasos, volen preparar el major nombre possible de caixes.

1. a) Tradueix la situació al llenguatge matemàtic: quin concepte has de calcular per saber quantes caixes es poden muntar com a màxim? Justifica la teva resposta.
2. b) Calcula quantes caixes promocionals es podran preparar en total.
3. c) Determina quantes ampolles de cada varietat d'oli contindrà cada caixa individual.

Un arquitecte està dissenyant el sòl d'una sala de trofeus d'un club d'e-sports. La sala té una forma rectangular de $12,6$ metres de llarg per $7,2$ metres d'ample. Es vol cobrir el sòl amb rajoles quadrades de la mida més gran possible, de manera que no s'hagi de tallar cap i que el disseny sigui perfectament simètric.

Tanmateix, l'arquitecte vol deixar un petit canal de ventilació de $60$ cm d'ample al llarg de tot el perímetre de la sala, per la qual cosa l'àrea real a enrajolar serà un rectangle interior més petit.

Calcula la mida del costat de la rajola més gran que es pot utilitzar per a cobrir aquest rectangle interior i quantes rajoles es necessitaran en total.

Troba dos nombres naturals, als quals anomenarem $x$ i $y$, sabent que el seu producte és $x \cdot y = 11\,250$ i que el seu mínim comú múltiple és $m.c.m.(x, y) = 750$.

Una empresa de logística vol transportar tres tipus de mercaderies en contenidors cúbics iguals, tan grans com sigui possible, per a aprofitar al màxim l'espai d'un gran magatzem de càrrega. Les quantitats de mercaderia es mesuren en volum:

• Caixes de tecnologia: $1\,512$ $m^3$

• Caixes d'alimentació: $1\,848$ $m^3$

• Caixes de tèxtil: $1\,260$ $m^3$

Si cada contenidor ha d'anar ple amb un sol tipus de mercaderia i no pot sobrat espai en cap d'ells, quin ha de ser el volum de cada contenidor cúbic? Quants contenidors de tèxtil hi haurà al magatzem?

Utilitza l'Algorisme d'Euclides per a trobar el $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Un cop trobat, indica si els nombres són primers entre ells i justifica la teva resposta basant-te en els divisors obtinguts durant el procés de l'algorisme.

Determina tots els parells de nombres naturals la suma dels quals sigui $168$ i el màxim comú divisor dels quals sigui $m.c.d.(a, b) = 24$.

Ajuda: Si el M.C.D. és 24, pots escriure els nombres com a $a = 24 \cdot p$ i $b = 24 \cdot q$, on $p$ i $q$ han de ser primers entre ells.

Un centre de rescat de fauna marina ha rebut una donació de tres mànegues d'alta resistència per a netejar els tancs. Les longituds de les mànegues són de $156$ metres, $144$ metres i $108$ metres.

Volen tallar-les en trossos de la mateixa longitud, sense que sobri res, per a distribuir-los entre diferents equips de voluntaris. El cap del centre posa com a condició que els trossos han de ser tan llargs com sigui possible, però per raons de seguretat, cap tros pot mesurar més de $15$ metres.

Quina longitud haurà de tenir cada tros per a complir totes les condicions? Quants voluntaris rebran una mànega?

Es tenen dos nombres naturals $A$ i $B$ tals que el seu $m.c.d.(A, B) = 15$. Si multipliquem el nombre $A$ per $12$ i el nombre $B$ per $12$, quin serà el nou màxim comú divisor dels nombres resultants? Justifica la teva resposta aplicant les propietats dels divisors.

Imagina que tens un terreny amb forma de triangle escalè els costats del qual mesuren $210$, $270$ i $330$ metres. Es volen col·locar pals de fusta en tot el perímetre a distàncies iguals, de manera que hi hagi un pal a cada vèrtex i que la distància entre pals sigui la màxima possible.

Si cada pal costa $14,50$ € i la mà d'obra per col·locar-ne cadascun és de $6$ €, quin serà el pressupost total per tancar el terreny?

Es busquen dos nombres naturals de tres xifres, $a$ i $b$ (amb $a < b$), dels quals no coneixem el seu valor inicial, però sabem que compleixen simultàniament dues condicions:

1. a) Aplica la propietat que relaciona el producte de dos nombres amb el seu m.c.d. i el seu m.c.m. per calcular el valor exacte del producte $a \cdot b$.
2. b) Si escrivim $a = 18 \cdot x$ i $b = 18 \cdot y$, dedueix quin valor ha de tenir el producte $x \cdot y$ i raona per què $x$ i $y$ han de ser obligatòriament primers entre si (és a dir, no poden compartir cap factor comú).
3. c) Descompon el producte $x \cdot y$ en factors primers, analitza totes les possibles parelles de factors $(x, y)$ que siguin primers entre si i dedueix quins són els únics valors de $a$ i $b$ que compleixen que tots dos tenen exactament tres xifres.

Un magatzem logístic de paqueteria a Zaragoza prepara enviaments per a tres comarques aragoneses. Tenen tres palets amb diferent quantitat de paquets de material escolar: el primer conté $540$ paquets, el segon $720$ i el tercer $900$. Es volen reempaquetar en contenidors més petits que portin exactament el mateix nombre de paquets cadascun, sense barrejar material de diferents palets i sense que sobri cap paquet.

Tot i això, l'empresa de transport imposa dues restriccions per motius de seguretat ergonòmica:

• Cada contenidor ha de portar com a mínim $20$ paquets.

• Cap contenidor pot portar més de $50$ paquets.

1. a) Calcula el $\text{m.c.d.}(540, 720, 900)$ i explica per què aquest resultat per si sol no resol directament el problema.
2. b) Raona per què qualsevol mida de contenidor vàlida que permeti repartir els paquets sense que en sobri cap ha de ser necessàriament un divisor del m.c.d. obtingut.
3. c) Troba totes les possibles mides de contenidor (nombre de paquets per contenidor) que compleixen les restriccions imposades per l'empresa de transport.
4. d) Quina mida convé triar si es vol utilitzar el menor nombre total de contenidors? Calcula quants contenidors es necessitaran en total amb aquesta elecció.

Repte del tema. «Auditoria energètica a casa». Converteix-te en auditor energètic de la teva llar utilitzant dades reals obtingudes de la teva darrera factura elèctrica o del web oficial de Red Eléctrica de España (REE). Elabora un informe breu seguint aquestes fases:

1. Dades i notació científica: Consulta el consum mensual en kWh ($1\text{ kWh} = 3,6 \cdot 10^6\text{ J}$) i transforma'l a joules emprant notació científica i potències. Registra el preu del kWh amb decimals (per exemple, $0,15\text{ \euro}$) i calcula el cost base.

2. Divisibilitat i mesures: Selecciona dues rutines periòdiques de consum (com engegar la rentadora cada $3$ dies o el rentavaixella cada $4$) i fes servir la descomposició factorial i el $\text{m.c.m.}$ per predir quan coincidiran. A més, si pretens aïllar una zona quadrada del teu terra de $12,25\text{ m}^2$, troba la longitud del costat aplicant l'arrel quadrada.

3. Equació i balanç: Planteja i resol una equació de primer grau per esbrinar quantes hores de radiador pots mantenir enceses sense sobrepassar un límit de despesa de $45\text{ \euro}$. Dissenya en un full de càlcul un balanç mensual amb nombres enters (estalvis positius i costos negatius).

Es valorarà:

• Rigor en l'ús de potències, notació científica i operacions amb decimals.

• Aplicació correcta de divisibilitat ($\text{m.c.m.}$) i arrels quadrades.

• Plantejament algebraic i resolució vàlida de l'equació.

• Organització clara de les dades al full de càlcul i conclusions raonades.