Exercicis: Equacions de segon grau

Identifica quines de les equacions següents són de segon grau. Per a aquelles que ho siguin, escriu-les en la seva forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) i indica el valor dels seus coeficients $a$, $b$ i $c$:

1. a) $3x^2 - 5 = x + 2$

1. b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$

1. c) $5x - 3 = 0$

1. d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$

Calcula la solució d'aquestes equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + c = 0$ (recorda que poden tenir dues solucions, una o cap):

1. a) $x^2 - 49 = 0$

1. b) $2x^2 - 32 = 0$

1. c) $x^2 + 25 = 0$

1. d) $5x^2 = 0$

Resol les equacions de segon grau incompletes següents extreient factor comú. No oblidis que una de les solucions sempre és $x = 0$:

1. a) $x^2 - 7x = 0$

1. b) $3x^2 + 12x = 0$

1. c) $x^2 = 5x$

1. d) $4x^2 - 2x = 0$

Volem dissenyar una catifa quadrada per a una habitació. Si sabem que l'àrea total que ha d'ocupar és de $144$ $m^2$, quant ha de mesurar el costat de la catifa? Escriu l'equació de segon grau corresponent i resol-la.

Sense resoldre les equacions, calcula el valor del discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) i indica si tenen dues solucions, una solució doble o cap solució real:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$

1. b) $x^2 - 5x + 4 = 0$

1. c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$

Resol les equacions de segon grau completes següents utilitzant la fórmula general:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

1. b) $x^2 + 2x - 8 = 0$

1. c) $x^2 - 10x + 25 = 0$

El producte d'un nombre enter pel seu següent és igual a $30$. Tradueix aquest enunciat a una equació de segon grau i troba de quins nombres es pot tractar (recorda que hi ha dues possibles parelles de nombres).

Troba les dimensions del rectangle de la figura sabent que la seva àrea és de $15$ $cm^2$. Per fer-ho, planteja una equació de segon grau i resol-la mitjançant la fórmula general.

En Carlos està resolent l'equació de segon grau incompleta $2x^2 - 10x = 0$ a la pissarra i fa els passos següents:

1) Passa el terme amb $x$ al segon membre: $2x^2 = 10x$.

2) Divideix tots dos membres entre $x$: $\dfrac{2x^2}{x} = \dfrac{10x}{x} \Rightarrow 2x = 10$.

3) Aïlla la incògnita: $x = \dfrac{10}{2} = 5$.

En Carlos conclou que l'única solució de l'equació és $x = 5$.

1. a) Explica quin error algebraic ha comès en Carlos en dividir entre $x$ i quina conseqüència directa té sobre les solucions de l'equació.
2. b) Resol l'equació correctament traient factor comú i escriu totes les seves solucions reals.

Dissenya tu mateix dues equacions de segon grau que compleixin les condicions següents:

1. a) Una equació incompleta de la forma $ax^2 + c = 0$ les solucions de la qual siguin $x = 4$ i $x = -4$. Explica el raonament que has seguit per triar els valors d'$a$ i $c$.
2. b) Una equació incompleta de la forma $ax^2 + bx = 0$ (amb $a \neq 0$ i $b \neq 0$) en què una de les solucions sigui $x = 0$ i l'altra sigui $x = -3$. Mostra el pas a pas de com has determinat els seus coeficients.

L'ajuntament d'un poble vol instal·lar una lona publicitària quadrada a la façana d'un poliesportiu per anunciar un esdeveniment d'eSports. Si la superfície total que ocupa la lona és de $144 m^2$, planteja una equació de segon grau i calcula quant mesura el costat d'aquesta lona.

Troba un nombre enter tal que si li sumes el seu propi quadrat, el resultat obtingut és $42$. Pista: Recorda passar tots els termes a un membre per igualar l'equació a zero.

La base d'una nova tauleta té forma rectangular. Sabem que la seva base mesura $4 cm$ més que la seva altura i que la seva superfície total és de $60 cm^2$. Calcula les dimensions (base i altura) de la tauleta resolent l'equació de segon grau corresponent.

Al laboratori de matemàtiques, estem analitzant el comportament de diferents projectils. Sense resoldre les equacions següents, utilitza el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) per indicar quantes solucions reals té cadascuna:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Resol les equacions de segon grau incompletes següents utilitzant el mètode més adequat (extracció de factor comú o arrel quadrada directa):

1. a) $3x^2 - 27 = 0$
2. b) $x^2 + 5x = 0$
3. c) $2x^2 = 8x$

Un dissenyador de jardins vol envoltar una font circular amb una vora de flors. L'equació que relaciona les mesures del disseny és $x(x - 8) = -15$, on $x$ és una mesura en metres. Resol l'equació utilitzant la fórmula general per trobar els possibles valors de $x$.

Redueix la següent expressió a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ i troba les seves solucions aplicant la fórmula:

La Marta i en Javier estan jugant a "endevinar l'equació". La Marta diu: "La meva equació té les solucions $x_1 = 3$ i $x_2 = -5$ i el coeficient del terme $x^2$ és $1$".

Escriu l'equació de la Marta en la seva forma general ($x^2 + bx + c = 0$). Ajuda: Utilitza la forma factoritzada $(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

En un hort escolar d'un institut andalús volen tancar una parcel·la rectangular per cultivar hortalisses. El disseny estableix que la llargada ha de mesurar $4\text{ m}$ més que l'amplada i que la superfície total tancada ha de ser d'exactament $60\text{ m}^2$.

1. a) Estima: Abans de plantejar fórmules, tanteja mentalment amb nombres enters senzills ($x = 5$, $x = 6$, $x = 7$) i explica entre quins dos valors enters s'ha de trobar la mesura real de l'amplada.
2. b) Planteja i resol: Anomena $x$ l'amplada de la parcel·la, escriu l'equació de segon grau en la seva forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) i resol-la mitjançant la fórmula general.
3. c) Comprova: Descarta raonadament la solució matemàtica que no tingui sentit físic, calcula les dimensions definitives (amplada i llargada) i comprova si el resultat confirma la teva estimació inicial.

Observa amb atenció les tres equacions de segon grau següents:

1) $4x^2 - 36 = 0$

2) $3x^2 + 15x = 0$

3) $x^2 - 7x + 10 = 0$

La Sofía afirma: «Per no embolicar-me amb tantes regles diferents, jo sempre aplico directament la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ a totes les equacions».

1. a) Compara l'estratègia de la Sofía amb els mètodes específics per a equacions incompletes. Explica quin mètode alternatiu és més ràpid i redueix el risc d'errors en l'equació 1) i quin en l'equació 2).
2. b) Resol les tres equacions aplicant en cadascuna el procediment més convenient i eficient, justificant la teva elecció en cada cas.

Un programador de videojocs està dissenyant la fórmula per calcular l'experiència crítica d'un personatge. Després de simplificar el codi, l'equació resultant és la següent:

Opera, redueix a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ i troba els valors de $x$ que fan que la fórmula funcioni.

Es construirà una rampa parabòlica per a un nou skatepark. La trajectòria de la rampa és $y = x^2 - 10x + k$ i el sòl és l'eix $x$ (és a dir, $y = 0$). Perquè la rampa siga segura i tinga un únic punt de suport sobre el sòl, el discriminant de l'equació $x^2 - 10x + k = 0$ ha de ser igual a zero.

Quin valor ha de tindre el coeficient $k$ perquè la rampa tinga una única solució (solució doble)? Una vegada trobat $k$, resol l'equació per trobar el punt de suport.

Un patinet elèctric de $130$ cm de llargada ha quedat recolzat contra una paret. La distància des del peu de la paret fins a la base del patinet és $70$ cm menor que l'altura que arriba a tenir el patinet a la paret.

Si anomenem $x$ l'altura de la paret, aplica el teorema de Pitàgores per plantejar una equació de segon grau i calcula aquesta altura.

El producte de dos nombres enters consecutius és igual al quàdruple del menor més $10$ unitats. Planteja l'equació de segon grau corresponent i troba quins són aquests dos nombres. Hi ha més d'una parella de nombres que compleixi la condició?

Un artista urbà vol pintar un mural quadrat en una paret. Tanmateix, decideix ampliar el disseny original augmentant-ne el costat en $2$ metres. En fer-ho, l'àrea total del mural es triplica respecte al disseny original.

Calcula quant mesurava el costat del mural originalment (aproxima el resultat a dos decimals si és necessari).

Es llança un petit dron de joguina verticalment cap amunt des del terra. L'altura $h$ (en metres) a la qual es troba el dron després d'un temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió:

La gràfica mostra la trajectòria del dron i l'altura de $25$ m marcada amb una línia discontínua.

En quins moments es trobarà el dron exactament a $25$ metres d'altura? Resol-ho de manera algebraica i explica per què obtens dues solucions diferents.

En una xarxa social de fotografia, el nombre de «Likes» de la publicació d'avui d'un influencer ha estat tal que, si se li resten $10$ unitats i el resultat s'eleva al quadrat, s'obté el mateix valor que multiplicant el nombre de «Likes» per $5$ i restant-li $50$.

Calcula quants «Likes» ha rebut avui aquesta publicació.

Una làmina de cartró rectangular mesura $20$ cm de base i $15$ cm d'altura. Volem retallar un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les seves cantonades per fabricar una caixa oberta. Si sabem que l'àrea de la base de la caixa resultant ha de ser de $150$ cm², calcula quant ha de mesurar el costat $x$ dels quadrats retallats.

Durant les festes de les Falles a València, una empresa de pirotècnia dispara un coet verticalment des de terra. L'altura $h$ (en metres) a la qual es troba el projectil respecte de terra en funció del temps transcorregut $t$ (en segons) respon al model físic:

1. a) Planteja una equació de segon grau per esbrinar en quins instants de temps el coet es troba a exactament $50\text{ m}$ d'altura. Resol-la i interpreta físicament per què s'obtenen dos valors de temps diferents.
2. b) Si l'artefacte patís una fallada i no explotés a l'aire, quants segons trigaria a estavellar-se contra el terra des del moment del tret? Modela l'equació corresponent, resol-la i descarta amb justificació matemàtica i física la solució no vàlida.
3. c) L'encarregat de seguretat afirma que el coet arribarà a assolir els $70\text{ m}$ d'altura. Planteja l'equació corresponent a aquesta situació i, sense resoldre-la completament, utilitza el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) per argumentar si l'afirmació de l'encarregat és físicament possible.

Considera la família d'equacions de segon grau $x^2 - 8x + k = 0$, on $k$ és un nombre real que podem modificar.

1. a) Utilitza el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) per deduir quin valor exacte ha de tenir $k$ perquè l'equació tingui una única solució real doble. Quin és el valor d'aquesta solució?
2. b) Determina per a quins valors de $k$ l'equació no té cap solució real. Interpreta geomètricament què li passa a la gràfica de la paràbola $y = x^2 - 8x + k$ respecte de l'eix X en aquest cas.
3. c) Suposa que ens confirmen que una de les solucions de l'equació és $x = 10$. Sense utilitzar la fórmula del discriminant, substitueix aquesta dada per trobar el valor exacte de $k$ i, a continuació, calcula raonadament quina és l'altra solució de l'equació.