Exercicis: Volum

Per a un projecte de classe, has d'estimar quanta aigua cap a la teva motxilla escolar. Si suposem que la teva motxilla té una capacitat de $18.500 \text{ cm}^3$, quants litres d'aigua podria contenir si fos totalment impermeable?

Recorda que $1 \text{ dm}^3$ és equivalent a $1 \text{ litre}$.

Has comprat un nou telèfon intel·ligent i vols calcular el volum de la seva caixa per saber quant d'espai ocuparà a la teva prestatgeria. La caixa és un ortoedre (prisma rectangular) amb les dimensions següents: $16 \text{ cm}$ de llargària, $9 \text{ cm}$ d'amplària i $5 \text{ cm}$ d'altura. Calcula el seu volum en $\text{cm}^3$.

Una famosa marca de refrescos utilitza llaunes cilíndriques per a les seves begudes. Si el radi de la base de la llauna és de $3 \text{ cm}$ i la seva altura és de $12 \text{ cm}$, calcula el volum de refresc que pot contenir la llauna. (Fes servir $\pi \approx 3,14$).

Estàs d'acampada amb els teus amics i teniu una tenda amb forma de prisma triangular recte. La base de la tenda (el terra) és un triangle de $2 \text{ m}$ de base i $1,5 \text{ m}$ d'altura. Si la tenda té una longitud (profunditat) de $3 \text{ m}$, quin és el volum d'aire que hi ha dins de la tenda?

Tens un trepitjapapers de vidre amb forma de piràmide quadrangular regular. L'àrea de la seva base quadrada és de $25 \text{ cm}^2$ i l'altura de la piràmide és de $9 \text{ cm}$. Calcula el volum de vidre necessari per fabricar aquest trepitjapapers.

Per a una festa d'aniversari, s'han fabricat barrets de cartolina en forma de con. Si cada barret té un radi de $8 \text{ cm}$ i una altura de $15 \text{ cm}$, quin volum d'aire queda «atrapat» dins del barret quan algú el porta posat? (Fes servir $\pi \approx 3,14$).

Una pilota de ping-pong té un radi de $2 \text{ cm}$. Calcula el volum de la pilota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Fes servir la fórmula del volum de l'esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ i pren $\pi \approx 3,14$).

Al laboratori de ciències tenen un petit aquari amb forma d'ortoedre. Les seves mides són $40 \text{ cm}$ de llargària, $20 \text{ cm}$ d'amplària i $25 \text{ cm}$ d'altura. Si l'omplim d'aigua fins a una altura de $20 \text{ cm}$, quants litres d'aigua hi hem abocat?

Lucía vol calcular el volum d'una espelma aromàtica amb forma cilíndrica. L'espelma fa $10\text{ cm}$ de diàmetre i $12\text{ cm}$ d'alçària. A la seva llibreta ha escrit la resolució següent:

1. a) Localitza i explica detalladament quin error conceptual ha comès Lucía en el seu plantejament.
2. b) Corregeix el seu desenvolupament i calcula el volum real correcte de cera que conté l'espelma (pren $\pi \approx 3,14$).
3. c) Si Lucía utilitzés el seu resultat erroni per encarregar la cera a la fàbrica, quantes vegades més material del necessari hauria demanat? Raona la teva resposta a partir de la fórmula del volum sense necessitat de tornar a fer operacions amb decimals.

Un fabricant de pilotes produeix pilotes de bàsquet de la talla 7, que tenen forma esfèrica amb un radi de $12\text{ cm}$. Per a la seva distribució, cada pilota inflada s'empaqueta en una capsa cúbica individual en la qual encaixa de manera exacta (amb arestes de $24\text{ cm}$).

1. a) Abans de calcular el volum de l'esfera, estima mentalment el volum de la capsa cúbica en litres (recorda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre} = 1.000\text{ cm}^3$). A partir d'aquesta xifra, fes una estimació raonada: creus que la pilota ocuparà més o menys de la meitat del volum de la capsa?
2. b) Calcula el volum exacte de la pilota esfèrica aplicant la fórmula corresponent (utilitza $\pi \approx 3,14$) i expressa'l en litres arrodonint a dos decimals.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada calculant quin percentatge exacte del volum de la capsa ocupa realment la pilota. Què opines sobre l'espai d'aire que queda desaprofitat en el transport?

Una coneguda marca de batuts ha dissenyat un nou envàs cilíndric per a la seva edició limitada d'estiu. El pot té un diàmetre de $8\text{ cm}$ i una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricant indica que el batut ocupa el $90\%$ de la capacitat total de l'envàs per deixar espai a l'aire, calcula quants mil·litres ($ml$) de producte conté cada pot.

Has decidit construir un formiguer de gel per a un projecte de ciències. El recipient té forma d'ortoedre (prisma rectangular) amb unes dimensions de $25\text{ cm}$ de llargària, $10\text{ cm}$ d'amplària i $18\text{ cm}$ d'altura. Si el gel es ven en pots de $0,5\text{ litres}$, quants pots complets necessitaràs comprar per omplir el formiguer fins a una altura de $15\text{ cm}$?

Una empresa de perfums llança una fragància en un frasc amb forma de con recte. El radi de la base és de $3\text{ cm}$ i la generatriu mesura $5\text{ cm}$. Calcula el volum de perfum que cap al frasc expressat en centímetres cúbics. Ajuda: primer hauràs de trobar l'altura del con fent servir el teorema de Pitàgores.

En un museu de ciència hi ha una exhibició interactiva amb una esfera de vidre plena d'un gas noble. Si el diàmetre de l'esfera és de $60\text{ cm}$, quin és el volum de gas al seu interior? Expressa el resultat en metres cúbics ($m^3$).

Un silo d'emmagatzematge de gra té una forma composta: un cos cilíndric de $10\text{ m}$ d'altura i una cúpula semiesfèrica a la part superior. Si el radi de la base és de $4\text{ m}$, calcula la capacitat total del silo en hectolitres ($hl$).

Per a un esdeveniment de videojocs, s'ha dissenyat un trofeu que consisteix en una piràmide quadrangular regular de bronze. El costat de la base quadrada mesura $12\text{ cm}$ i l'aresta lateral (la que uneix el vèrtex amb una cantonada de la base) mesura $10\text{ cm}$. Calcula el volum de bronze necessari per fabricar un trofeu.

El principi de Cavalieri afirma que dos cossos amb la mateixa altura i les seccions dels quals a una mateixa distància de la base tenen la mateixa àrea posseeixen el mateix volum. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ d'altura i $30\text{ cm}^2$ d'àrea de la base amb un cilindre de la mateixa altura i la mateixa àrea de la base. Si hi aboquem $0,5\text{ litres}$ d'aigua a cadascun, quin s'omplirà primer? Justifica la teva resposta calculant el volum de tots dos.

Una piscina municipal amb forma de prisma rectangular té una capacitat de $1200\text{ m}^3$. Si sabem que la llargària de la piscina és de $50\text{ metres}$ i l'amplària de $12\text{ metres}$, calcula la profunditat (altura) de la piscina. Si l'ajuntament decideix omplir-la només fins als $4/5$ de la seva capacitat per seguretat, quants litres d'aigua hi haurà a la piscina?

Un mestre gelater artesà d'Alacant vol encarregar el disseny d'un nou motlle cònic per servir un sorbet. Ha establert que el motlle ha de tenir una capacitat exacta de $200\text{ ml}$ quan estigui completament ple fins a dalt (recorda que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Per motius d'estabilitat a la taula, ha decidit a més que l'alçària del con ha de ser exactament quatre vegades el radi de la seva base circular ($h = 4r$).

1. a) Escriu la fórmula del volum del con substituint l'alçària $h$ per l'expressió $4r$ i simplifica-la perquè depengui únicament del radi $r$.
2. b) Planteja l'equació corresponent igualant la fórmula anterior al volum desitjat ($200\text{ cm}^3$) i troba el valor del radi $r$ i de l'alçària $h$. Arrodoneix les dimensions a les dècimes de centímetre (pren $\pi \approx 3,14$).
3. c) Fes la comprovació: calcula el volum del con amb les mesures que has obtingut i verifica que s'obté un valor pròxim als $200\text{ ml}$ requerits (la petita diferència es deu a l'arrodoniment).

Segons els registres d'una estació meteorològica de l'AEMET a la província d'Alacant, durant un episodi de pluges torrencials es va acumular una precipitació de $75\text{ l/m}^2$ (litres per metre quadrat). Un viver agrícola de la zona disposa d'una coberta plana de policarbonat de $20\text{ m}$ de llargada per $8\text{ m}$ d'amplada que recull tota l'aigua caiguda i la canalitza íntegrament cap a un aljub cilíndric de $3\text{ m}$ de diàmetre interior i $4\text{ m}$ de profunditat, el qual es trobava totalment buit abans de la tempesta.

1. a) Modela la situació i calcula el volum total d'aigua de pluja (tant en litres com en metres cúbics) que va recollir la coberta de l'hivernacle.
2. b) Determina l'alçària en metres que assolirà l'aigua dins de l'aljub en finalitzar l'episodi (utilitza $\pi \approx 3,14$ i arrodoneix a dues xifres decimals).
3. c) Interpreta el resultat obtingut: hi ha risc que l'aljub s'hagi desbordat? Si no és així, quants litres addicionals haurien fet falta per omplir-lo del tot?

Un dissenyador ha creat un trofeu per a un torneig d'eSports amb una forma geomètrica complexa. El trofeu consisteix en un prisma quadrangular regular de fusta sobre el qual se suporta una piràmide quadrangular regular de metall. L'aresta de la base comuna mesura $12\text{ cm}$. L'altura del prisma és de $20\text{ cm}$, i sabem que l'aresta lateral de la piràmide mesura $10\text{ cm}$. Calcula el volum total del trofeu en decímetres cúbics ($dm^3$).

Una peça industrial d'acer té forma d'ortoedre de dimensions $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Per lleugerir-ne el pes, se li ha practicat un orifici cilíndric que travessa la peça de dalt a baix per la seva cara més gran. El radi del cilindre és de $2\text{ cm}$. Sabent que la densitat de l'acer és de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcula la massa total de la peça en quilograms. (Pren $\pi \approx 3,14$).

Al laboratori de física, els alumnes submergeixen completament una esfera de plom en un recipient cilíndric ple d'aigua fins a la meitat. El radi del recipient és de $10\text{ cm}$. En introduir-hi l'esfera, el nivell de l'aigua puja exactament $4,5\text{ cm}$ sense arribar a vessar. Quin és el radi de l'esfera de plom? Expressa el resultat en centímetres amb dos decimals.

Un dipòsit d'aigua té forma de tronc de piràmide quadrangular regular. Les arestes de les bases mesuren $4\text{ m}$ i $2\text{ m}$ respectivament. L'altura del dipòsit és de $3\text{ m}$. Si el dipòsit està ple fins a les tres quartes parts de la seva altura (és a dir, l'aigua arriba als $2,25\text{ m}$ des de la base), quants litres d'aigua conté? (Nota: Hauràs de fer servir la semblança per trobar el costat de la superfície de l'aigua).

Calcula el volum d'una piràmide hexagonal regular l'aresta lateral de la qual mesura $13\text{ cm}$ i el costat de la seva base mesura $10\text{ cm}$. Recorda que en un hexàgon regular, el radi de la circumferència circumscrita és igual al costat. Expressa el resultat en $cm^3$ aproximant a les unitats.

Un fabricant de gelats vol comparar dos recipients. El primer té forma de con de $6\text{ cm}$ de radi i $15\text{ cm}$ d'altura. El segon és un cilindre amb el mateix radi i la mateixa altura, però a dins conté una semiesfera de xocolata que ocupa la part inferior. Si el radi de la semiesfera és també de $6\text{ cm}$, quin dels dos recipients té més volum disponible per al gelat de vainilla? Raona la resposta fent els càlculs.

Es vol construir una rampa de formigó per a un parc d'skate. La rampa té forma de prisma recte la base del qual és un trapezi rectangle. Les bases del trapezi mesuren $3\text{ m}$ i $1\text{ m}$, i la seva altura (longitud de la base de la rampa a terra) és de $5\text{ m}$. Si l'amplada de la rampa és de $4\text{ m}$, calcula quants metres cúbics de formigó es necessiten i el cost total si el preu és de $95\text{ €/m}^3$.

Una empresa de perfums ven la seva fragància estrella en un frasc que consisteix en un cilindre de vidre de $4\text{ cm}$ de diàmetre i $10\text{ cm}$ d'altura, rematat per un tap en forma de con de la mateixa base i $3\text{ cm}$ d'altura. Si el frasc s'omple només fins al $85\%$ de la seva capacitat total per deixar espai a l'aire, quants mil·litres ($ml$) de perfum conté cada frasc? (Pren $\pi \approx 3,1416$).

Un taller de mecanització ha de fabricar peces massisses de bronze amb forma de prisma recte de base hexagonal regular. L'alçària de la peça és de $15\text{ cm}$, el costat de l'hexàgon de la base fa $8\text{ cm}$ i l'apotema de la base fa aproximadament $6,93\text{ cm}$. Dos estudiants en pràctiques proposen dos mètodes per calcular el volum de metall:

• Mètode 1 (Marcos): Calcula l'àrea de l'hexàgon amb la fórmula habitual del polígon regular ($A = \frac{\text{perímetre} \cdot \text{apotema}}{2}$) i la multiplica per l'alçària del prisma.

• Mètode 2 (Sara): Divideix mentalment el prisma hexagonal en $6$ prismes triangulars rectes idèntics la base dels quals és un triangle de base $8\text{ cm}$ i alçària $6,93\text{ cm}$, calcula el volum d'un d'ells i el multiplica per $6$.

1. a) Aplica numèricament tots dos mètodes i comprova si condueixen exactament al mateix resultat.
2. b) Justifica algebraicament per què tots dos mètodes són matemàticament equivalents analitzant les seves fórmules generals.
3. c) En el disseny final es decideix perforar la peça de dalt a baix amb un forat cilíndric central de $4\text{ cm}$ de diàmetre per alleugerir pes. Quin dels dos mètodes conceptuals s'adapta de manera més neta per calcular el volum de metall restant? Explica la teva elecció i calcula el volum final de la peça perforada (pren $\pi \approx 3,14$).

En una cooperativa de Castella i Lleó es projecta una sitja metàl·lica per emmagatzemar gra. El cos principal és un cilindre vertical de $4\text{ m}$ de radi a la base i $12\text{ m}$ d'alçària, rematat a la part superior per una tremuja cònica de tancament el radi de la qual coincideix amb el del cilindre i la generatriu de la qual fa $5\text{ m}$.

1. a) Dibuixa mentalment la secció de la coberta cònica, identifica el triangle rectangle que formen els seus elements i utilitza el teorema de Pitàgores per deduir l'alçària exacta del con superior.
2. b) Sabent que la densitat aparent del blat sec és de $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ tones per metre cúbic), calcula la massa màxima de blat en tones que pot albergar la sitja completament plena (cilindre i con junts). Pren $\pi \approx 3,14$.
3. c) El responsable de la sitja afirma: «Com que l'alçària del con és una quarta part de l'alçària del cilindre, el con ha d'aportar aproximadament un $25\%$ del volum total de la sitja». Analitza matemàticament aquesta afirmació calculant el percentatge real que representa el volum del con respecte al volum total i explica amb arguments geomètrics per què el raonament del responsable és incorrecte.