Exercicis: Àrea

Un artesà està fabricant daus gegants de fusta per a una ludoteca. Si cada dau és un cub perfecte que té una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superfície total de fusta que haurà de pintar en cadascun dels daus.

Calcula l'àrea total d'una caixa de sabates amb forma d'ortoedre les dimensions de la qual són $15 \text{ cm}$ d'amplada, $30 \text{ cm}$ de llargada i $10 \text{ cm}$ d'altura. Dibuixa de forma esquemàtica el seu desenvolupament pla per ajudar-te en el càlcul.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per a un projecte de tecnologia, necessites forrar amb paper adhesiu un pot cilíndric de llapis. El pot té un radi de la base de $r = 4 \text{ cm}$ i una altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula quants centímetres quadrats de paper necessitaràs, sabent que el pot està obert per dalt (només té una base). Pren $\pi \approx 3,14$.

Un envelat de jardí té forma de prisma triangular regular recte. La base és un triangle equilàter de costat $l = 3 \text{ m}$. Si la longitud de l'envelat (alçària del prisma) és de $5 \text{ m}$, calcula l'àrea lateral de l'envelat (sense incloure les dues bases triangulars).

Troba l'àrea total d'una piràmide quadrangular regular si sabem que el costat de la base quadrada mesura $8 \text{ cm}$ i l'apotema de les seves cares laterals mesura $10 \text{ cm}$.

Una pilota de bàsquet té un radi de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superfície de cuir necessària per fabricar-la, arrodonint el resultat a dos decimals. (Recorda que l'àrea de l'esfera és $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).

Observa el desenvolupament pla d'aquest cos geomètric. Si cadascun dels triangles isòsceles té una àrea de $15 \text{ cm}^2$ i el quadrat central té un costat de $6 \text{ cm}$, quina és l'àrea total de la figura quan es munti? Quin cos geomètric es forma?

Calcula l'àrea lateral d'un cilindre la circumferència de la base del qual mesura $C = 25,12 \text{ cm}$ i la seva altura és de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recorda que en obrir el cilindre, l'àrea lateral és un rectangle la base del qual és la longitud de la circumferència).

En Marcos vol folrar amb paper adhesiu un pot portalàpis que té forma cilíndrica. El pot està obert per la part superior, la base circular té un radi de $4\text{ cm}$ i l'alçària és de $12\text{ cm}$. Per calcular la quantitat de paper necessària, en Marcos anota a la llibreta:\n- Àrea lateral: $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Àrea de la base: $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Àrea total: $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Assenyala l'error de raonament geomètric que ha comès en Marcos tenint en compte la funció de l'objecte que folrarà.\nb) Explica quina modificació s'ha de fer a la fórmula de l'àrea total a partir del desenvolupament pla d'un cilindre obert per dalt.\nc) Calcula la superfície real de paper adhesiu que necessita retallar en Marcos (utilitza $\pi \approx 3,14$).

Per als entrenaments escolars de la Real Federación Española de Balonmano s'utilitzen pilotes reglamentàries esfèriques de talla 2, el radi de les quals és de $8,5\text{ cm}$.\na) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació aproximada de l'àrea de la superfície esfèrica arrodonint mentalment el radi a $8\text{ cm}$ i el nombre $\pi$ a $3$. Raona si creus que l'àrea real superarà els $1.000\text{ cm}^2$ o serà menor.\nb) Calcula ara amb precisió la superfície de cuir de la pilota aplicant la fórmula de l'àrea de l'esfera ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$), prenent el radi real de $8,5\text{ cm}$ i $\pi \approx 3,14$. Arrodoneix el resultat a les centèsimes.\nc) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i valora per què estimar prèviament un resultat ens ajuda a comprovar si els càlculs amb calculadora són raonables.

Per a un projecte de tecnologia, has de fabricar una caixa de fusta amb forma de prisma hexagonal regular. L'arista de la base mesura $4\text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $15\text{ cm}$. Calcula la superfície total de fusta que necessitaràs per construir la caixa (incloent-hi les dues bases).

(Nota: Per trobar l'àrea de la base, recorda que primer has de calcular l'apotema de l'hexàgon utilitzant el teorema de Pitàgores).

Una carpa per a un esdeveniment juvenil té forma de piràmide quadrangular regular. El costat de la base quadrada mesura $10\text{ m}$ i l'altura de la piràmide (des del centre de la base fins al vèrtex superior) és de $12\text{ m}$. Calcula quants metres quadrats de lona s'han necessitat per fabricar les quatre cares laterals de la carpa.

Un fabricant d'espelmes artesanals vol recobrir amb un paper protector argentat la superfície lateral d'una espelma cilíndrica. L'espelma té un diàmetre de $8\text{ cm}$ i una altura de $20\text{ cm}$. Si el paper només ha de cobrir la part corba (sense les bases), quina superfície de paper es necessita per a cada espelma? Utilitza $\pi \approx 3,14$.

En una gelateria de disseny, han creat un cucurutxo amb forma de con recte l'altura del qual és de $12\text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $5\text{ cm}$. Calcula l'àrea total del cucurutxo (superfície lateral més el cercle de la base) per saber quant de xocolata necessiten per banyar-lo per complet.

(Pista: Primer hauràs de trobar la generatriu del con).

Un test modern té forma de tronc de piràmide quadrangular regular. Les bases són dos quadrats de costats $20\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$ respectivament. Si l'altura de les cares laterals (l'apotema del tronc) és de $10\text{ cm}$, calcula l'àrea total de la superfície exterior del test (bases superior i inferior incloses).

Es vol restaurar la cúpula d'un observatori astronòmic que té forma de semiesfera de $6\text{ metres}$ de radi. Si el pressupost per a la pintura és de $15\text{ €}$ per cada metre quadrat, quant costarà pintar la superfície exterior de la cúpula? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Un far decoratiu per a un jardí està format per dos cossos: un cilindre de $10\text{ cm}$ de radi i $30\text{ cm}$ d'altura, coronat per un con de la mateixa base i $15\text{ cm}$ de generatriu. Calcula l'àrea total de la superfície exterior d'aquest far (sense comptar la base sobre la qual es recolza).

Calcula l'àrea total d'un cub sabent que la diagonal d'una de les seves cares mesura $10\text{ cm}$.

(Pista: Utilitza el teorema de Pitàgores en una de les cares per trobar la mida de l'arista del cub abans de calcular l'àrea).

Una fàbrica de conserves vegetals de Navarra produeix pots cilíndrics de llauna per envasar espàrrecs. L'equip tècnic ha fixat que la base circular del pot ha de tenir un radi de $4\text{ cm}$. La màquina de tall disposa d'exactament $351,68\text{ cm}^2$ de xapa metàl·lica per fabricar cada pot complet tancat (àrea lateral més les dues tapes circulars).\na) Planteja una equació on la incògnita sigui l'alçària $h$ del cilindre, utilitzant les dades proporcionades i la fórmula de l'àrea total ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, fent servir $\pi \approx 3,14$).\nb) Resol l'equació per calcular l'alçària exacta que ha de tenir el pot.\nc) Si el departament de qualitat indica que per a aquesta quantitat de conserva l'alçària ideal ha d'estar entre $9\text{ cm}$ i $11\text{ cm}$, determina justificadament si les dimensions trobades compleixen aquest estàndard de qualitat.

A la comarca de La Mancha es restaurarà la teulada cònica d'un molí de vent per protegir la maquinària interior de les pluges torrencials registrades per l'AEMET. La teulada té forma de con regular: el radi de la base circular fa $3\text{ m}$ i l'alçària vertical des del centre de la base fins a la cúspide fa $4\text{ m}$. Únicament s'impermeabilitzarà la superfície lateral exterior (el con no té base per cobrir, ja que recolza oberta sobre la torre de maçoneria).\na) Modela la secció de la teulada mitjançant un triangle rectangle per calcular la generatriu del con aplicant el teorema de Pitàgores.\nb) Calcula els metres quadrats de superfície cònica que s'han d'impermeabilitzar (pren $\pi \approx 3,14$).\nc) Per col·locar les làmines impermeabilitzants cal encarregar un $10\,\%$ extra de material a causa dels talls i encavalcaments. Si el metre quadrat de làmina costa $25\text{ €}$, calcula el cost total del material necessari per a la restauració.

Una empresa de disseny vol fabricar una làmpada de sostre amb forma de piràmide hexagonal regular. El costat de l'hexàgon de la base mesura $10\text{ cm}$ i l'altura de la piràmide és de $24\text{ cm}$. Perquè la llum es projecti correctament, han de forrar les cares laterals amb una làmina de coure especial. Calcula quants $\text{cm}^2$ de làmina de coure es necessiten per cobrir la superfície lateral de la làmpada. Tingues en compte que primer hauràs de trobar l'apotema de la base i, amb aquesta, l'apotema de la piràmide.

Un arquitecte ha dissenyat una claraboia per a un museu que consisteix en un tronc de piràmide quadrangular regular de vidre. La base inferior té un costat de $4\text{ m}$, la base superior un costat de $2\text{ m}$ i l'altura del tronc és de $1,5\text{ m}$. El vidre utilitzat per a les cares laterals costa $85\text{ €/m}^2$. Calcula el pressupost necessari per comprar el vidre de la superfície lateral, arrodonint el resultat a dos decimals.

S'ha dissenyat un trofeu de metacrilat que consisteix en un cilindre recte de $10\text{ cm}$ d'altura i $6\text{ cm}$ de diàmetre, al qual se li ha extret una semiesfera perfecta a la base superior, el radi de la qual coincideix exactament amb el radi del cilindre. Calcula l'àrea total de la superfície del trofeu (superfície exterior cilíndrica, superfície de la base inferior i la superfície corba del forat semiesfèric). Utilitza $\pi \approx 3,14$.

Un dipòsit industrial té forma de cilindre recte coronat per un con de la mateixa base. L'altura de la part cilíndrica és de $8\text{ m}$ i l'altura de la part cònica és de $3\text{ m}$. El diàmetre del dipòsit és de $8\text{ m}$. Es vol pintar tota la superfície exterior lateral i la base superior (con), però no la base sobre la qual es recolza. Si amb cada pot de pintura es poden cobrir $15\text{ m}^2$, quants pots de pintura s'han de comprar com a mínim?

Un cub de fusta de $12\text{ cm}$ d'arista es talla mitjançant un pla que passa pels punts mitjans de tres aristes concurrents en un mateix vèrtex, separant una petita piràmide triangular (un tetraedre irregular). Calcula l'àrea total de la figura resultant que queda després de retirar la petita piràmide. Ajuda: El tall genera una nova cara que és un triangle equilàter els costats del qual són les diagonals dels quadrats de costat $6\text{ cm}$.

Un fabricant de pilotes de gimnàstica produeix esferes de cautxú de dues mides. La pilota petita té una superfície de $5024\text{ cm}^2$. La pilota gran té un radi que és exactament el doble que el de la pilota petita. Calcula l'àrea de la superfície de la pilota gran. Quina relació numèrica (raó) hi ha entre l'àrea de la pilota gran i la de la petita? Utilitza $\pi = 3,14$.

Es vol construir un hivernacle amb forma de mig cilindre recolzat sobre el terra, com es mostra a la figura. La longitud de l'hivernacle és de $15\text{ m}$ i l'amplada de la base (el diàmetre del semicilindre) és de $6\text{ m}$. Si el plàstic per cobrir la part corba i les dues parets frontals (semicercles) costa $12\text{ €/m}^2$, quin serà el cost total del plàstic necessari? (No es compta el terra).

Una peça mecànica d'acer té la forma d'un prisma recte de base quadrada amb un forat cilíndric que la travessa de base a base pel centre. El costat del quadrat de la base del prisma mesura $10\text{ cm}$ i l'altura de la peça és de $20\text{ cm}$. El diàmetre del forat cilíndric és de $8\text{ cm}$. Calcula l'àrea de la superfície total de la peça (incloent-hi la superfície interior del forat).

Per dissenyar un monòlit commemoratiu en un parc públic, l'ajuntament projecta una torre composta per un prisma quadrangular recte de base quadrada de $4\text{ m}$ de costat i $10\text{ m}$ d'alçària, coronat per una piràmide quadrangular recta de base idèntica i una alçària vertical d'$1,5\text{ m}$. Dos arquitectes discuteixen com calcular la superfície exterior total que requerirà tractament hidròfug (incloent-hi la base inferior del prisma que recolza al terreny preparat):\n- Mètode de la Laura: «Calculo l'àrea total de la piràmide completa per la seva fórmula, li sumo l'àrea total del prisma complet per la seva fórmula i resto dues vegades l'àrea del quadrat on s'uneixen».\n- Mètode d'en Sergi: «Miro el desenvolupament pla exterior del cos conjunt: calculo directament l'àrea de la base inferior, l'àrea lateral del prisma i l'àrea lateral de la piràmide, sumant aquestes tres quantitats».\na) Demostra formalment que tots dos mètodes arriben a la mateixa expressió algebraica de la superfície.\nb) Justifica quin dels dos mètodes és més convenient i eficient per evitar errors a la pràctica de taller.\nc) Aplica el mètode més convenient per trobar la superfície exterior total que s'ha de tractar. (Tingues en compte que per a la piràmide has de calcular primer la seva apotema fent servir el teorema de Pitàgores amb la meitat del costat de la base i la seva alçària vertical).

Una cooperativa d'oli d'oliva verge extra de Jaén vol comercialitzar una llauna metàl·lica de disseny prèmium amb forma de prisma hexagonal regular. Per raons ergonòmiques i d'adherència a la cuina, l'aresta de la base hexagonal fa $4\text{ cm}$. El departament financer imposa una restricció de costos: la superfície total de llauna consumida per cada envàs tancat (incloent-hi les dues bases hexagonals) no pot superar els $450\text{ cm}^2$.\na) Determina l'àrea d'una de les bases hexagonals regulars. Recorda que per calcular l'apotema de la base has d'utilitzar el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que formen el radi de la base (que fa el mateix que el costat, $4\text{ cm}$) i la meitat del costat. Arrodoneix l'apotema a dos decimals i l'àrea de la base a les dècimes.\nb) A partir de l'àrea total màxima permesa ($450\text{ cm}^2$), planteja una equació o inequació on intervinguin l'alçària $h$ de la llauna i les dues bases hexagonals.\nc) Resol l'expressió per deduir l'alçària màxima que pot tenir la llauna. Si la maquinària d'envasament només permet calibrar alçàries en nombres enters de centímetres, quina és l'alçària més gran en centímetres que es pot fabricar complint el pressupost de material?