Propiedades de las potencias

En la ludoteca del instituto, los juegos de mesa se organizan en estanterías. Si tenemos una expresión en forma de potencia como $7^{3}$, indica cuál es el número que actúa como base y cuál como exponente. Explica brevemente qué operación tendrías que hacer para calcular su valor (sin necesidad de dar el resultado final).

Una conocida red social muestra las fotos del perfil de los usuarios en una cuadrícula cuadrada. Si el muro de fotos de Lucía tiene $5$ fotos de ancho y $5$ fotos de alto, ¿cuántas fotos tiene en total? Expresa el resultado primero como una multiplicación de dos factores iguales, luego en forma de potencia y finalmente calcula el valor total.

Calcula mentalmente las siguientes potencias especiales. Recuerda las reglas para los exponentes $0$ y $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

Aplica la propiedad del producto de potencias de la misma base para escribir las siguientes expresiones como una sola potencia (no es necesario calcular el valor final):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Pista: cuando un número no tiene exponente, es como si tuviera un $1$).

Utiliza la propiedad del cociente de potencias de la misma base para simplificar estas operaciones en una única potencia:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

Una empresa de mensajería organiza sus paquetes en grandes contenedores cúbicos. Si en un contenedor caben $6$ cajas a lo largo, $6$ cajas a lo ancho y $6$ cajas a lo alto:

1. a) Expresa el número total de cajas que hay en un contenedor en forma de potencia y calcula el resultado.
2. b) Si la empresa tiene almacenados $6^2$ contenedores iguales, ¿cuántas cajas tienen en total? Expresa el resultado como una sola potencia.

Escribe como una sola potencia utilizando la propiedad de potencia de una potencia:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar la siguiente expresión y dejarla como una sola potencia de base $2$:

Recuerda indicar los pasos seguidos: primero opera dentro del paréntesis, luego aplica la potencia de una potencia y, finalmente, resuelve el cociente.

Calcula las siguientes expresiones de dos formas distintas para comprobar que se cumplen las propiedades de las potencias:

• Forma A: Calculando primero el interior de los paréntesis y luego la potencia.

• Forma B: Aplicando la propiedad de la potencia de un producto o un cociente.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Averigua el valor de la letra $x$ en cada una de las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indica qué valores no podría tomar $x$ en este caso).

Resuelve las siguientes operaciones combinadas aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones y las propiedades de las potencias cuando sea posible:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$