Exercicis: Identitats notables

En un examen de 2n d'ESO, Lucía ha resolt el desenvolupament de l'expressió $(2x - 3)^2$ escrivint directament: $4x^2 - 9$. El seu professor li ha indicat que la resposta és errònia perquè conté dues errades conceptuals en aquest únic pas.

1. a) Identifica les dues errades comeses per Lucía (una de relativa al signe de l'últim terme i una altra de relativa als termes que falten en el desenvolupament).
2. b) Aplica la propietat distributiva multiplicant $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ terme a terme per explicar-li amb claredat d'on sorgeix cada element i escriu l'expressió final correcta i simplificada.

Per cobrir el terra d'una caseta quadrada a la Feria del Libro de Madrid cal encarregar una lona que fa $39\text{ m}$ de costat.

1. a) Abans de calcular l'àrea exacta, fes una estimació mental aproximant la longitud del costat a la desena més propera ($40\text{ m}$). Raona si l'àrea real de la caseta serà més gran o més petita que la teva estimació.
2. b) Expressa el nombre $39$ com la resta $(40 - 1)$ i calcula l'àrea exacta aplicant la identitat notable del quadrat d'una diferència, indicant els tres termes que resulten del desenvolupament.
3. c) Resta l'àrea exacta calculada de la teva estimació inicial i comprova si la diferència coincideix amb el que havies raonat a l'apartat a).

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les identitats notables per convertir-les en un polinomi ordenat:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Observa la figura següent, que representa un quadrat de costat $(x + 3)$ al qual se li ha retallat un quadrat interior de costat $(x - 1)$. Utilitza les identitats notables per escriure una expressió simplificada que representi l'àrea ombrejada de color taronja.

Nadia i Diego estan fent els deures de matemàtiques i han comès alguns errors comuns. Identifica quina de les igualtats següents és incorrecta i corregeix-la a la teva llibreta explicant per què està malament:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Les identitats notables també serveixen per realitzar càlculs mentals ràpids amb nombres grans. Utilitza la identitat del producte d'una suma per una diferència $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ per calcular els productes següents de manera enginyosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Pista: considera $50 + 2$ i $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Copia i completa a la teva llibreta els termes que falten perquè aquestes expressions formin un trinomi quadrat perfecte o una diferència de quadrats:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Simplifica al màxim l'expressió algebraica següent operant primer les identitats notables i reduint després els termes semblants:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Un ajuntament vol dissenyar una nova plaça quadrada. Al centre hi haurà una zona enjardinada, també quadrada, envoltada per un camí de rajoles d'amplada constant.

Si el costat total de la plaça mesura $(3x + 2)$ metres i el costat del jardí central mesura $(3x - 2)$ metres, calcula el polinomi simplificat que representa l'àrea destinada únicament al camí de rajoles.

En el cub de la figura, d'aresta $x$, s'hi ha traçat la diagonal d'una de les seves cares i la diagonal principal del cos. Es forma, a més, un hexàgon regular quan es talla el cub per un pla $P$ que passa pels punts mitjans de les seves arestes.

1. a) Expressa mitjançant un binomi al quadrat l'àrea d'una cara si l'aresta augmentés en $2\text{ cm}$.
2. b) Si l'àrea de l'hexàgon es pot expressar com a $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$, demostra utilitzant identitats notables que si l'aresta fos $(x+y)$, la nova àrea de l'hexàgon seria $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Calcula el valor exacte del perímetre de l'hexàgon per a $x = 4\text{ cm}$ (simplifica l'arrel).

Relaciona a la teva llibreta cada producte notable amb la seva expressió desenvolupada corresponent:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Completa els buits en blanc perquè les igualtats següents siguin correctes:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Lucía vol dissenyar una catifa quadrada per a la seva habitació. El costat de la catifa mesura $(x + 4)$ metres.

1. a) Escriu l'expressió de l'àrea de la catifa com el quadrat d'un binomi.
2. b) Desenvolupa el binomi per obtenir el polinomi que representa l'àrea.

Un error molt comú en començar amb les identitats notables és pensar que el quadrat d'una suma és simplement la suma dels quadrats. Per exemple:

És cert que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Per comprovar-ho, calcula el valor numèric de totes dues expressions per a $x = 2$ i explica si els resultats són iguals o diferents.

Per calcular mentalment el resultat de l'operació $105^2 - 95^2$ sense utilitzar calculadora, Marcos i Elena plantegen dues estratègies diferents:

• Mètode de Marcos: Fer les dues multiplicacions tradicionals per separat, $105 \cdot 105$ i $95 \cdot 95$, i després restar el segon resultat del primer.

• Mètode d'Elena: Identificar que l'expressió és una diferència de quadrats de la forma $a^2 - b^2$, transformar-la en el producte d'una suma per una diferència i fer les operacions resultants.

1. a) Aplica el mètode proposat per Elena desenvolupant pas a pas el càlcul numèric fins a obtenir el valor final.
2. b) Compara tots dos mètodes i justifica raonadament per què la proposta d'Elena resulta molt més avantatjosa, analitzant la dificultat de les operacions intermèdies de cada camí.

Una comunitat de regants de l'horta de Murcia disposa d'una parcel·la quadrada de conreu de costat $x$ metres (amb $x > 10$). Per millorar la xarxa de reg s'estudien dues opcions de remodelació:

• Opció A: Augmentar un dels costats en $5\text{ m}$ i reduir el costat perpendicular en $5\text{ m}$ per obrir una séquia.

• Opció B: Augmentar els dos costats perpendiculars en $5\text{ m}$ per aprofitar una franja contigua.

1. a) Escriu la fórmula de l'àrea resultant a l'Opció A com a producte de dos binomis, desenvolupa-la mitjançant la identitat notable corresponent i raona si la parcel·la guanya, perd o manté la superfície respecte a la parcel·la original de $x^2\text{ m}^2$.
2. b) Escriu la fórmula de l'àrea a l'Opció B com el quadrat d'un binomi i desenvolupa-la. Si la parcel·la original feia $x = 20\text{ m}$ de costat, calcula la diferència exacta en metres quadrats entre la superfície de l'Opció B i la de l'Opció A.

Desenvolupa les expressions següents utilitzant les identitats notables i simplifica els termes semblants quan sigui possible:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Troba el terme que falta en cada expressió perquè el trinomi sigui el resultat d'un quadrat d'una suma o d'una diferència (quadrat perfecte). Després, escriu la potència corresponent:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Simplifica les fraccions algebraiques següents utilitzant les identitats notables per factoritzar el numerador i el denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Un dissenyador d'aplicacions està creant una icona quadrada per a una xarxa social. El disseny original té un costat de $x$ píxels. El client demana dos canvis: primer, augmentar el costat en $4$ píxels per afegir-hi un marge decoratiu; segon, crear una versió reduïda on cada costat mesura $4$ píxels menys que l'original.

Troba el polinomi que representa la diferència d'àrees entre la icona ampliada i la icona reduïda en funció de $x$.

Demostra algebraicament que la diferència entre els quadrats de dos nombres enters consecutius és sempre igual a la suma d'aquests nombres.

(Pista: anomena $x$ el primer nombre i $x+1$ el següent).

Troba l'àrea de la zona ombrejada en la figura següent. Expressa el resultat com un polinomi simplificat en funció de $x$. El costat del quadrat exterior mesura $2x+3$ i el costat del quadrat interior blanc mesura $2x-3$.

Calcula el valor numèric de l'expressió $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ per als valors $x = \frac{1}{3}$ i $y = 5$.

Consell: Simplifica l'expressió algebraica utilitzant les identitats notables abans de substituir els valors.

Un fabricant de plaques solars ha descobert que l'eficiència dels seus panells millora si s'utilitza una configuració de cel·les que segueix la identitat del producte d'una suma per una diferència.

Si l'àrea total d'una placa ve donada pel polinomi $A(x) = 16x^4 - 81y^2$, quines són les expressions algebraiques que representen la llargada i l'amplada d'aquesta placa?

En una fàbrica de ceràmica d'Onda (Castelló) dissenyen rajoles quadrades l'àrea de les quals ve donada pel trinomi $9x^2 + kx + 16$, on $k$ és un nombre enter.

1. a) Dedueix els dos possibles valors que pot prendre el coeficient $k$ perquè l'expressió representi exactament l'àrea d'una rajola quadrada de costat $(ax + b)$ o $(ax - b)$, amb $a$ i $b$ enters positius. Escriu en cada cas el binomi al quadrat associat.
2. b) Prenent el valor positiu de $k$ trobat, als dissenyadors se'ls demana retallar una zona decorativa interior restant $25$ unitats a l'àrea total, obtenint l'expressió $(3x + 4)^2 - 25$. Sense desenvolupar els quadrats, factoritza aquesta darrera expressió com a producte de dos binomis de primer grau aplicant la identitat de suma per diferència i simplifica els termes numèrics de cada factor.

En un debat a classe de Matemàtiques, Pablo afirma: «El quadrat de la suma de dos nombres, $(a + b)^2$, sempre dóna un resultat més gran que la suma dels seus quadrats, $a^2 + b^2$, perquè en desenvolupar-lo sempre hi afegim el terme $2 \cdot a \cdot b$».

1. a) Desenvolupa $(a + b)^2$ i calcula la diferència algebraica $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ de forma simplificada. Quin terme algebraic condiciona per complet si el resultat és més gran, més petit o igual?
2. b) Demostra que l'afirmació de Pablo és falsa proporcionant un contraexemple numèric amb nombres enters on es compleixi que $(a + b)^2 < a^2 + b^2$. A continuació, investiga si és possible trobar dos nombres diferents de zero tals que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ i justifica la teva conclusió.
3. c) Enuncia amb precisió quina condició matemàtica han de complir els signes d'$a$ i $b$ perquè $(a + b)^2 > a^2 + b^2$, quan passa que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ i quan passa que $(a + b)^2 < a^2 + b^2$.

Repte del tema. Dissenya l'embalatge sostenible del futur! Una empresa de logística vol redissenyar les seves caixes ortoèdriques (políedres) per minimitzar el cartó emprat.

1. Mesurament real: Mesura amb un regle les dimensions reals (llargada, amplada i alçària) d'un paquet que tinguis a casa i calcula'n el volum aproximat.

2. Modelització algebraica: Planteja una nova caixa amb base quadrada de costat $(x+4)\text{ cm}$ i alçària $2x\text{ cm}$. Expressa mitjançant el llenguatge algebraic: el binomi d'una arista de la base, el polinomi de l'àrea total del políedre desenvolupant la identitat notable $(x+4)^2$, i el polinomi del volum. Fes les operacions i redueix els polinomis.

3. Simulació digital: En un full de càlcul, genera una taula avaluant les fórmules de superfície i volum per a valors de $x$ des de $4$ fins a $15$, amb increments de $0,5$. Identifica el valor de $x$ el volum del qual sigui més proper al del teu paquet real.

4. Proposta raonada: Redacta un breu informe amb la taula, el desenvolupament algebraic i una conclusió justificant quina caixa aprofita millor el material.

Es valorarà:

• Correcta traducció al llenguatge algebraic i desenvolupament d'identitats notables.

• Precisió en les operacions amb monomis i polinomis associats al políedre.

• Ús rigorós del full de càlcul per tabular i contrastar amb dades reals.

• Claredat i justificació matemàtica de la proposta final.