Exercicis: Altres sistemes de numeració

Els ordinadors utilitzen el sistema binari (base 2) per processar la informació, usant només els dígits $0$ i $1$. Per entendre com "pensa" una màquina, converteix el número decimal $13$ a codi binari utilitzant el mètode de les divisions successives entre $2$.

A l'esquema tens les divisions que has de fer. En cada fila es divideix entre $2$ el quocient de la fila anterior, i es continua fins que el quocient siga $0$.

1. a) Completa les caselles de l'esquema: quocient i resta de cada divisió, fins arribar a quocient $0$.

1. b) Llig les restes de baix cap amunt (de l'últim al primer) i escriu el número $13$ en base 2.

A la façana d'un antic teatre de la teva ciutat apareix esculpit l'any de la seva inauguració en nombres romans: MCMXCVIII. Tradueix aquest nombre al nostre sistema decimal per saber en quin any es va obrir el teatre.

En el món de la informàtica, la unitat mínima d'informació és el bit, que només pot prendre els valors $0$ o $1$ (sistema binari). Un processador antic d'una consola retro utilitza registres de 8 bits. Si un personatge té un nivell d'energia representat pel nombre decimal $43$, com apareixeria aquest valor en el codi binari de la consola?

El sistema de numeració maia era vigesimal (base 20) i posicional vertical. Observa el nombre següent representat mitjançant els seus nivells i tradueix-lo al nostre sistema decimal:

• Nivell 3 (superior): Un punt.

• Nivell 2 (mitjà): Dues ratlles i tres punts.

• Nivell 1 (inferior): Una ratlla.

(Recorda que en el sistema maia, el punt val $1$ i la ratlla val $5$).

Un servidor de fitxers per a una comunitat de jugadors d'eSports té una capacitat total de $2^{35}$ bits. Actualment, el servidor conté tres carpetes amb captures de partides: la carpeta A ocupa $1,2$ GB, la carpeta B ocupa $950$ MB i la carpeta C conté $2^{30}$ bytes. Sabent que $1$ GB = $1024$ MB i $1$ MB = $1024$ KB, determina si és possible desar un vídeo addicional de $1,5$ GB sense ultrapassar la capacitat total del servidor. Expressa tots els càlculs en potències de base 2 quan sigui possible.

En una excavació arqueològica s'ha trobat una inscripció amb un sistema de numeració desconegut. Després d'analitzar-lo, els experts han determinat que és un sistema de base 4, on els símbols són: $\triangle = 0$, $\square = 1$, $\bigcirc = 2$ i $\star = 3$.

Si el tresor es troba a una distància de $\bigcirc \star \square \triangle$ metres de l'entrada principal, calcula aquesta distància en el nostre sistema decimal. Posteriorment, expressa el resultat obtingut en sistema binari.

Calcula el resultat de l'operació següent amb nombres romans, expressant el valor final tant en numeració romana com en el sistema de numeració decimal:

$(MMCDLXIV - MDCCCLXXXIX) \times XII$

En un sistema informàtic, multiplicar un nombre binari per $2^n$ equival a desplaçar les seves xifres $n$ posicions cap a l'esquerra (afegint zeros al final).

Donat el nombre decimal $21$:

1. a) Expressa'l en sistema binari.
2. b) Realitza l'operació de desplaçar les seves xifres $3$ posicions cap a l'esquerra.
3. c) Converteix el nombre resultant de nou a sistema decimal i comprova que el resultat és equivalent a multiplicar $21 \times 2^3$.

Un explorador intergalàctic ha arribat a un planeta on els natius utilitzen un sistema de numeració de base 5. Et donen les següents equivalències per entendre el seu llenguatge:

$1_{5} = \text{I}$, $2_{5} = \text{V}$, $3_{5} = \text{X}$, $4_{5} = \text{L}$.

Si et diuen que falten $\text{XXL}$ hores perquè s'enlairi la nau nodrissa:

1. a) Escriu la quantitat d'hores en sistema decimal.
2. b) Calcula a quants minuts equival aquest temps.