Exercicis: Funció de proporcionalitat inversa

Un grup d'amics vol llogar una pista de pàdel que costa $20$ € en total. El preu que ha de pagar cadascun depèn del nombre de persones que vagin a jugar. Observa la taula següent que relaciona el nombre d'amics ($x$) i els diners que paga cadascun ($y$):

Calcula el producte de les dues magnituds ($x \cdot y$) per a cada columna i comprova que sempre és el mateix. Com es diu aquest valor constant en les funcions de proporcionalitat inversa?

Indica quina de les expressions algebraiques següents correspon a una funció de proporcionalitat inversa i explica per què:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Completa la taula de valors següent sabent que la funció de proporcionalitat inversa té com a constant $k = 12$. La fórmula de la funció és $y = \frac{12}{x}$.

Una empresa de missatgeria ha de repartir $60$ paquets. Si contracta més repartidors, cadascun haurà de portar menys paquets. La relació ve donada per la funció $y = \frac{60}{x}$, on $x$ és el nombre de repartidors i $y$ és el nombre de paquets per repartidor.

Si l'empresa decideix contractar $6$ repartidors, quants paquets portarà cadascun?

Observa la gràfica següent. Sense fer càlculs, identifica si representa una funció lineal (proporcionalitat directa) o una funció de proporcionalitat inversa (hipèrbola). Justifica la teva resposta basant-te en la forma de la línia.

Troba la constant de proporcionalitat inversa $k$ d'una funció sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(3, 10)$. Un cop tinguis $k$, escriu l'equació de la funció.

(Pista: recorda que en aquest tipus de funcions $k = x \cdot y$).

Volem construir rectangles que tinguin tots la mateixa àrea: $24$ $cm^2$. La relació entre la base ($x$) i l'altura ($y$) d'aquests rectangles segueix una funció de proporcionalitat inversa. A la figura pots veure la gràfica d'aquesta relació i, com a exemple, un rectangle de base $6$ $cm$ i altura $4$ $cm$.

1. a) Escriu l'equació que relaciona l'altura en funció de la base.
2. b) Si la base mesura $8$ $cm$, quina serà la seva altura?

Comprova si el punt $A(2, 9)$ pertany a la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{18}{x}$. Explica quina operació has fet per saber-ho.

Un grup d'amics vol llogar una pista de pàdel durant el cap de setmana. El preu total de la reserva és fix, per la qual cosa el cost per persona depèn de quants s'hi apuntin finalment. Observa la taula següent:

1. a) Comprova raonadament si es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa.
2. b) Troba la constant de proporcionalitat inversa $k$ i explica què representa en aquest context.
3. c) Escriu l'equació de la funció que relaciona totes dues magnituds.

Donada la gràfica següent, que representa una funció de proporcionalitat inversa $y = \dfrac{k}{x}$:

1. a) A partir del punt destacat $P(2, 12)$, calcula la constant $k$ de la funció.

1. b) Escriu l'expressió algebraica de la funció.

1. c) Quin seria el valor de $y$ quan $x = 6$? I el valor de $x$ quan $y = 3$?

Un patinet elèctric ha de recórrer una distància fixa de $12$ km per anar des de l'institut fins al poliesportiu municipal. El temps que triga ($y$, en hores) depèn de la velocitat constant a la qual circuli ($x$, en km/h).

1. a) Completa la taula de valors que relaciona la velocitat i el temps:

1. b) Escriu l'equació de la funció.
2. c) Si l'ajuntament limita la velocitat dels patinets a un màxim de $25$ km/h, quin és el temps mínim (en minuts) que es trigarà a fer el recorregut?

Volem dissenyar un hort rectangular al pati de l'institut que tingui sempre una àrea fixa de $24\ \text{m}^2$.

1. a) Escriu la funció que expressa la longitud de l'altura ($y$) en funció de la longitud de la base ($x$).

1. b) Indica si la funció és creixent o decreixent i justifica la teva resposta basant-te en el context del problema.

1. c) Representa gràficament la funció per a valors de la base entre $1$ i $12$ metres. Pots ajudar-te d'una taula de valors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica quina de les situacions següents es pot modelitzar mitjançant una funció de proporcionalitat inversa i escriu la seva equació en aquest cas:

1. El nombre d'entrades per a un concert que podem comprar amb $100$ $€$ segons el preu de cada entrada.

2. La distància recorreguda per un cotxe que circula a $90$ km/h constants segons el temps transcorregut.

3. El nombre d'obrers necessaris per construir un mur segons els dies que triguen a acabar-lo (treballant al mateix ritme).

4. El preu d'una bossa de taronges que costa $1,50$ $€$ el quilo.

Donada la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Indica quin és el seu domini (tenint en compte que és una funció matemàtica pura, no aplicada a un context real).
2. b) Calcula les imatges per a $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ i $x = 9$.
3. c) Determina els punts de la gràfica on l'ordenada és igual a l'abscissa ($y = x$).

Un camió cisterna de $15.000$ litres de capacitat es buida mitjançant diverses bombes d'extracció idèntiques. Si s'utilitzen $2$ bombes, la cisterna es buida en $6$ hores.

1. a) Quant de temps es trigaria si s'utilitzessin $4$ bombes?
2. b) I si la volguéssim buidar en només $2$ hores, quantes bombes necessitaríem?
3. c) Identifica les variables independent i dependent i escriu la fórmula de la funció que les relaciona.

Un grup d'estudiants de 2n d'ESO ha guanyat un premi compartit de $600$ $€$ en un concurs de robòtica. El premi es reparteix a parts iguals entre tots els membres de l'equip.

1. a) Construeix una taula que relacione el nombre d'estudiants que formen l'equip ($x$) i la quantitat de diners que rep cadascun ($y$).

1. b) Representa la funció gràficament. És una funció contínua o discontínua? Justifica la teua resposta.

1. c) Si cada estudiant vol rebre almenys $75$ $€$, quin és el nombre màxim d'alumnes que poden formar l'equip?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Un servidor de videojocs té una capacitat de transferència de dades fixa per baixar una actualització de $1,2$ GB ($1228,8$ MB). La velocitat de descàrrega $v$ (en MB/s) i el temps necessari $t$ (en segons) són magnituds inversament proporcionals.

1. a) Escriu la funció que relaciona el temps $t$ en funció de la velocitat $v$.
2. b) Si un usuari té una connexió limitada a $4$ MB/s, quants minuts trigarà a descarregar l'actualització?
3. c) Si volem que la descàrrega no duri més de $2$ minuts, quina ha de ser la velocitat mínima de la nostra connexió?

En una reserva d'animals, s'ha comprat una partida de pinso que dura exactament $24$ dies per alimentar els $80$ llops del recinte. A causa d'un rescat, el nombre de llops canviarà.

1. a) Determina la constant de proporcionalitat inversa $k$ i explica què representa en aquest context.
2. b) Expressa la funció que relaciona el nombre de dies $d$ que durarà el pinso segons el nombre de llops $n$.
3. c) Si després del rescat el pinso només dura $15$ dies, quants llops nous han arribat a la reserva?

Observa la gràfica següent que representa una funció de proporcionalitat inversa del tipus $y = \frac{k}{x}$. A partir de la informació visual:

1. a) Troba el valor de la constant $k$ sabent que la corba passa exactament pel punt destacat en taronja.
2. b) Calcula el valor de l'ordenada $y$ quan l'abscissa és $x = -2,5$.
3. c) Pertany el punt $P(12, -0,5)$ a la funció? Justifica la teva resposta.

Un grup d'amics vol llogar una casa rural per al pont de desembre que costa $720$ € en total. El preu per persona depèn del nombre d'amics que finalment vagin al viatge.

1. a) Escriu l'equació de la funció.
2. b) Si inicialment eren $6$ amics però finalment s'hi apunten $3$ persones més, quants diners s'estalvia cadascun dels $6$ amics inicials?
3. c) Si el pressupost màxim de cada amic és de $50$ €, quin és el nombre mínim de persones necessàries perquè puguin llogar la casa?

Considera un rectangle l'àrea del qual és constant i igual a $48$ cm². La base del rectangle és $x$ i l'altura és $y$.

1. a) Expressa l'altura en funció de la base. Quin tipus de funció és?

1. b) Si augmentem la base en $4$ cm, la nova altura és de $4$ cm. Quina era la longitud de la base original?

1. c) Representa gràficament la situació per a valors de la base entre $2$ i $16$ cm.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues magnituds $A$ i $B$ són inversament proporcionals. Es sap que quan $A$ augmenta en $5$ unitats, el valor de $B$ es redueix a la meitat del valor original (que era $B = 20$).

1. a) Calcula el valor inicial de la magnitud $A$.
2. b) Determina la constant de proporcionalitat inversa $k$.
3. c) Escriu l'expressió analítica de la funció que relaciona totes dues magnituds.

Un engranatge està format per dues rodes dentades, $R_1$ i $R_2$. El nombre de dents i la velocitat de gir (en r.p.m.) són magnituds inversament proporcionals. La roda $R_1$ té $40$ dents i gira a $120$ r.p.m.

1. a) Si la roda $R_2$ gira a $300$ r.p.m., quantes dents té?
2. b) Si volem que la segona roda giri tan lentament com sigui possible, però ha de tenir com a màxim $80$ dents, quina serà la seva velocitat de gir mínima?
3. c) Troba la funció que ens dona la velocitat de gir $y$ en funció del nombre de dents $x$.

Donada la taula de valors següent d'una funció de proporcionalitat inversa, descobreix els valors ocults marcats amb lletres i respon a les qüestions:

1. a) Calcula els valors de $a$, $b$, $c$ i $d$.
2. b) Indica si la funció és creixent o decreixent en el primer quadrant.
3. c) Per a quin valor de $x$ s'obté una imatge de $y = 0,01$?