Polígonos

En el siguiente polígono, que representa la planta de un pequeño trastero, identifica y cuenta los siguientes elementos:

• Número de vértices.

• Número de lados.

• Número de ángulos interiores.

• Traza una diagonal que una el vértice $A$ con el vértice $C$.

Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Fíjate en el pentágono (5 lados) del dibujo y dibuja todas las diagonales posibles que salgan desde el vértice marcado en naranja. ¿Cuántas diagonales totales crees que tiene un pentágono si las dibujas todas?

Clasifica los siguientes polígonos según su número de lados utilizando los nombres técnicos correspondientes (triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.):

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de $180^\circ$ y cóncavo si tiene al menos uno mayor de $180^\circ$. Observa estas dos flechas de señalización e indica cuál es cóncava y cuál es convexa.

Para que un polígono sea regular, debe tener todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos iguales. Observa las siguientes figuras de un videojuego y determina cuál de ellas cumple las condiciones para ser un polígono regular.

Un decorador está diseñando un mosaico moderno utilizando piezas con forma de pentágono regular. Al intentar juntar tres piezas en un mismo punto (vértice común), se da cuenta de que queda un pequeño hueco vacío.

• Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular.

• Sabiendo que una vuelta completa alrededor de un punto son $360^\circ$, ¿cuántos grados mide el hueco que queda libre al juntar tres pentágonos?

Para un proyecto de robótica, una placa metálica debe tener la forma de un hexágono. El fabricante dice que la placa es "equiángula" (todos sus ángulos interiores son iguales), pero no es "equilátera" (sus lados no miden lo mismo).

• ¿Es este hexágono un polígono regular? Razona la respuesta basándote en la definición.

• Si la placa tiene 6 lados, ¿cuánto debe sumar la medida de todos sus ángulos interiores?

• ¿Cuál es el valor de cada uno de sus ángulos interiores?

Calcula el perímetro de la siguiente parcela de jardín si sabemos que sus lados miden las cantidades indicadas en el dibujo. Recuerda que el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$. Si dividimos un cuadrilátero cualquiera trazando una de sus diagonales, obtenemos dos triángulos. Basándote en esto, ¿cuánto crees que sumarán los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero?

Calcula el perímetro de un pentágono irregular sabiendo que tiene dos lados de $8\text{ cm}$ cada uno, otros dos lados que miden el doble que los anteriores, y un último lado que mide la mitad de la suma de los otros cuatro. ¿Sería posible que este pentágono fuera regular? Explica por qué.

Un arquitecto está diseñando una claraboya con forma de polígono regular. Se sabe que la suma de todos sus ángulos interiores es de exactamente $1080^\circ$. Sin embargo, por un error de fabricación, uno de los ángulos interiores ha resultado ser $5^\circ$ mayor de lo que debería.

1. ¿Cuántos lados tiene la claraboya original?

2. Si el resto de los ángulos se mantienen iguales, ¿cuánto mide el ángulo que ha salido defectuoso?

3. ¿Sigue siendo un polígono regular? Razona tu respuesta basándote en la definición de polígono regular.

Un parque infantil tiene forma de pentágono irregular. Sus ángulos interiores son $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ y $90^\circ$.

1. Calcula la medida del quinto ángulo.

2. ¿Es posible que este parque sea un pentágono convexo? Justifica tu respuesta.

3. Si el ángulo de $90^\circ$ se encuentra entre dos lados de $12 \text{ m}$ y $16 \text{ m}$, ¿cuánto mediría el segmento que une los extremos de esos dos lados? (Usa el Teorema de Pitágoras).