Exercicis: Poliedres

Un arquitecte està dissenyant un nou model de vidriera per a un centre comercial amb forma de prisma pentagonal recte. Observa el dibuix i contesta les preguntes següents per ajudar-lo amb l'inventari de materials:

1. a) Quantes cares té el prisma en total?
2. b) Quants vèrtexs té la figura?
3. c) Quantes aristes hi ha en total?

A classe de Tecnologia, els alumnes estan construint una estructura per a una maqueta. Han dissenyat un poliedre que té $7$ cares i $10$ vèrtexs. Utilitza el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$) per calcular quantes varetes (aristes) necessitaran per muntar l'estructura completa.

Els daus que s'utilitzen als jocs de rol solen tenir les formes dels políedres regulars. Si estàs jugant amb un dau que té forma d'octàedre (observa la figura, on les arestes ocultes apareixen discontínues):

1. a) Quina forma tenen les seves cares?

1. b) Quantes cares té aquest dau?

1. c) Quantes arestes es troben a cadascun dels seus vèrtexs?

Classifica les piràmides següents segons el polígon de la seva base i determina si són regulars o irregulars justificant la teva resposta:

1. a) Una piràmide la base de la qual és un quadrat de $5\text{ cm}$ de costat i les seves cares laterals són triangles isòsceles iguals.
2. b) Una piràmide la base de la qual és un rectangle de $4\text{ cm}$ per $6\text{ cm}$.

La Marta vol fabricar una caixa de cartró per a un regal amb forma de cub. Per fer-ho, dibuixa diferents plantilles al seu quadern. Indica raonadament quin dels dos desenvolupaments plans següents permet formar un cub perfecte i quin no.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa al teu voltant a l'aula o a la teva habitació i anomena:

1. a) Un objecte que tingui forma d'ortoedre.
2. b) Quantes cares té aquest objecte?
3. c) Són totes les seves cares iguals o hi ha cares diferents? Descriu com són.

Assenyala quina de les afirmacions següents sobre els poliedres és FALSA i explica per què:

1. Un poliedre convex és aquell que, en recolzar-lo sobre qualsevol cara, no "s'enfonsa".

2. El tetraedre regular és el poliedre que té menys cares possibles.

3. En un poliedre regular, en cada vèrtex hi pot concórrer un nombre diferent d'aristes.

4. El cub és un tipus especial de prisma quadrangular.

Calcula l'àrea total d'un cub de Rubik si sabem que la longitud de cadascuna de les seves aristes és de $6\text{ cm}$. Recorda que el cub té $6$ cares quadrades idèntiques.

En Lucas està dissenyant a Tecnologia una maqueta amb forma de piràmide octogonal regular. Al seu quadern ha escrit: «Com que la base és un octàgon, la piràmide té $8$ cares en total, $8$ vèrtexs i $8 \cdot 2 = 16$ arestes. A més, es compleix la fórmula d'Euler perquè $8 + 8 = 16$». Identifica els tres errors conceptuals que ha comès en Lucas, explica de manera raonada com es compten en realitat els elements d'una piràmide a partir dels costats de la seva base i obtén els valors correctes de cares ($C$), vèrtexs ($V$) i arestes ($A$), comprovant amb ells el Teorema d'Euler.

Per a una exposició de geometria a l'institut, has de classificar diverses peces de fusta segons les seves propietats. Tens una peça que és un políedre i saps que té exactament $18$ arestes i $8$ cares, però dubtes si es tracta d'un prisma o d'una piràmide. Determina raonadament quin tipus de cos geomètric és i quin polígon forma la seva base. A continuació, respon de manera justificada: seria possible construir una piràmide que tingués exactament $15$ arestes en total?

Un políedre convex té el mateix nombre de cares que un octàedre regular i el mateix nombre de vèrtexs que arestes té un cub. Utilitza el Teorema d'Euler per determinar quantes arestes té aquest cos geomètric. Representa esquemàticament un políedre que compleixi aquestes característiques (per exemple, un prisma hexagonal).

Una coneguda marca de xocolates ven els seus productes en caixes amb forma de prisma triangular regular. Si el costat del triangle de la base mesura $6 \text{ cm}$ i l'altura del prisma és de $20 \text{ cm}$, calcula l'àrea total de cartró necessària per fabricar una caixa. (Recorda que primer hauràs de trobar l'altura del triangle de la base utilitzant el Teorema de Pitegores).

Calcula el volum d'una piràmide quadrangular regular la qual l'arista de la base mesura $10 \text{ cm}$ i l'arista lateral mesura $13 \text{ cm}$. Per resoldre-ho, hauràs de calcular primer l'apotema de la piràmide i després la seva altura utilitzant el Teorema de Pitegores.

Un escultor vol crear una peça tallant un cub de fusta de $10 \text{ cm}$ d'aresta. Si li treu les quatre cantonades superiors tallant pels punts mitjans de les arestes que concorren en cada vèrtex (a la figura, els talls apareixen en taronja), compta amb cura quantes cares, vèrtexs i arestes tindrà la figura resultant. Comprova si continua complint el Teorema d'Euler.

En una exposició d'art modern, hi ha una vitrina amb forma d'ortoedre les dimensions de la qual són $80 \text{ cm}$ de llargada, $60 \text{ cm}$ d'amplada i $1 \text{ m}$ d'altura. L'artista vol col·locar una vara metàl·lica que travessi la vitrina des d'un vèrtex inferior fins al vèrtex oposat superior. Quina ha de ser la longitud exacta de la vara?

Es vol pintar l'exterior d'un envelat publicitari que té forma de piràmide hexagonal regular. El costat de l'hexàgon de la base mesura $4 \text{ m}$ i l'apotema de la cara lateral mesura $7 \text{ m}$. Si el pot de pintura cobreix $10 \text{ m}^2$ i no es pinta el terra de l'envelat, quants pots de pintura s'han de comprar com a mínim?

Calcula el volum d'un prisma de base trapezoïdal (un dipòsit d'aigua). Les bases del trapezi mesuren $2 \text{ m}$ i $3 \text{ m}$, la seva altura és de $1,5 \text{ m}$ i la longitud total del dipòsit (altura del prisma) és de $5 \text{ m}$. Si el dipòsit està ple fins a la meitat, quants litres d'aigua conté?

És possible construir un poliedre regular les cares del qual siguin hexàgons regulars? Justifica la teva resposta analitzant quants graus sumarien els angles de les cares que concorren en un mateix vèrtex. Repeteix el raonament per explicar per què només hi ha cinc poliedres regulars convexos.

Per a les festes patronals d'un municipi de Castella-la Manxa, l'ajuntament encarregarà un envelat per a parades d'artesania amb forma de prisma decagonal regular (base de $10$ costats). L'estructura es munta amb barres d'alumini per a les arestes i peces d'ancoratge esfèriques als vèrtexs. Abans de consultar el catàleg tècnic, el regidor afirma a ull: «Per a aquest envelat necessitarem uns $40$ ancoratges i prop de $50$ barres d'alumini». Primer, fes una estimació mental ràpida i explica si les xifres del regidor et semblen coherents o desproporcionades. Després, calcula amb exactitud quantes cares ($C$), vèrtexs ($V$) i arestes ($A$) té aquest prisma, comprova que es compleix el Teorema d'Euler i valora l'error de l'estimació inicial del regidor.

Un estudi d'arquitectura de València dissenya un pavelló bioclimàtic per a un parc públic. L'edifici té forma de prisma hexagonal recte rematat a la part superior per una teulada en forma de piràmide hexagonal, la base de la qual coincideix exactament amb la base superior del prisma (de manera que aquesta superfície queda a l'interior i no compta com a cara exterior). Modela matemàticament aquest edifici com un únic políedre i respon:

1. a) Quantes cares exteriors té en total i quina forma geomètrica té cadascuna?
2. b) Quants vèrtexs i quantes arestes componen l'estructura exterior completa?
3. c) Comprova si aquest políedre compost compleix el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$) i explica per què.

Un estudi de disseny de videojocs està creant un nou "power-up" amb forma de políedre convex. Els artistes han decidit que l'objecte tingui exactament $14$ cares i $24$ arestes.

1. a) Segons el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$), quants vèrtexs ha de tenir el model 3D perquè sigui geomètricament possible?

1. b) Si el políedre final resulta ser un cuboctàedre (un políedre format per quadrats i triangles equilàters) i sabem que en cadascun dels seus vèrtexs concorren exactament $4$ arestes, comprova si el teu resultat de l'apartat a) coincideix amb l'estructura real d'aquest cos. Per fer-ho, compta les arestes a partir del nombre de vèrtexs i de les arestes que arriben a cadascun.

Estàs muntant un ordinador per peces i vols instal·lar una targeta gràfica d'última generació. La caixa de l'ordinador (la torre) és un ortoedre de dimensions $45\text{ cm}$ d'alt, $20\text{ cm}$ d'amplada i $40\text{ cm}$ de llargada. La targeta gràfica és molt llarga i vols saber si hi cabria col·locant-la de forma diagonal, unint un vèrtex inferior de la part davantera amb el vèrtex superior oposat de la part del darrere. Calcula la longitud de la diagonal de l'ortoedre i determina si una targeta de $62\text{ cm}$ de llargada hi cabria a l'interior.

Una empresa de joieria artesana vol fabricar un penjoll de plata amb la forma d'un octaedre regular. Si cada arista de l'octaedre mesura $12\text{ mm}$, calcula la superfície total de plata que necessitaran per cobrir el penjoll (l'àrea total). Pista: Recorda que un octaedre regular està format per vuit triangles equilàters iguals. Necessitaràs calcular primer l'altura d'un d'aquests triangles utilitzant el Teorema de Pitegores.

Un arquitecte ha dissenyat una claraboia per a un centre comercial amb forma de piràmide quadrangular regular. La base és un quadrat de $6\text{ m}$ de costat. Si l'àrea de la superfície de vidre (l'àrea lateral de la piràmide) és de $60\text{ m}^2$, calcula l'altura real de la piràmide des del centre de la base fins a la cúspide. Nota: Vigila, primer hauràs de trobar l'apotema de la piràmide a través de l'àrea lateral i després aplicar Pitegores per trobar l'altura.

Imagina un tetraedre regular i un octaedre regular, tots dos amb la mateixa longitud d'arista $a$. Un científic afirma que si unim dos d'aquests poliedres per una de les seves cares, el nombre de cares exposades a l'exterior del nou cos serà sempre la suma de les cares de tots dos menys dues.

1. a) Calcula el nombre de cares, vèrtexs i aristes del cos resultant d'unir dos tetraedres per una cara.
2. b) Es continua complint el Teorema d'Euler en aquest nou poliedre resultant? Justifica la teva resposta.

Per a un projecte de tecnologia, has de construir un altaveu amb forma de prisma hexagonal regular. El perímetre de la base hexagonal és de $42\text{ cm}$ i l'altura de l'altaveu és de $30\text{ cm}$. Perquè el so sigui òptim, has de forrar les parets laterals amb una tela especial que costa $15\text{ €/m}^2$. Calcula el cost total de la tela necessària per forrar la superfície lateral de cinc altaveus iguals. (Recorda fer els canvis d'unitats de $\text{cm}^2$ a $\text{m}^2$).

Un cristal·lògraf està estudiant una pedra preciosa que té forma de tronc de piràmide quadrangular regular. La base inferior és un quadrat de $10\text{ cm}$ de costat, la base superior és un quadrat de $4\text{ cm}$ de costat, i l'altura del tronc (distància entre bases) és de $4\text{ cm}$.

1. a) Calcula la longitud de l'apotema de les cares laterals (que són trapezis).
2. b) Calcula l'àrea total de la pedra preciosa.

Es vol fabricar una caixa metàl·lica sense tapa que tingui forma de cub i la diagonal de la qual mesuri exactament $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcula quant ha de mesurar l'arista d'aquesta caixa.
2. b) Si el metall utilitzat pesa $2,5\text{ grames}$ per cada $\text{cm}^2$, quina serà la massa total de la caixa un cop fabricada? (Recorda que la caixa no té tapa superior).

El Museu de les Ciències de Granada encarrega una escultura polièdrica buida formada per $32$ cares: $12$ pentàgons regulars i $20$ hexàgons regulars. A cada vèrtex del políedre concorren exactament $3$ arestes. Per calcular la quantitat de barres (arestes) i connectors (vèrtexs) que cal encarregar a fàbrica, dos estudiants proposen mètodes diferents:

• Mètode A (Sofía): Calcular primer les arestes multiplicant el nombre de cares pels seus costats i dividint entre $2$ perquè cada aresta pertany a dues cares: $A = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 2$. Després, aïllar els vèrtexs fent servir la relació d'Euler ($C + V = A + 2$).

• Mètode B (Marcos): Calcular primer els vèrtexs tenint en compte que cada pentàgon aporta $5$ cantonades i cada hexàgon $6$, però cada vèrtex es comparteix entre $3$ cares: $V = (12 \cdot 5 + 20 \cdot 6) : 3$. Després, calcular les arestes multiplicant $V$ per $3$ i dividint entre $2$.

Avalua la validesa d'ambdós mètodes i explica quin et sembla més segur si no recordessis la fórmula d'Euler. Finalment, calcula el nombre exacte de cares, arestes i vèrtexs de l'escultura i comprova que tots dos procediments condueixen al mateix resultat.

En un concurs escolar de robòtica a Madrid, un equip presenta la memòria tècnica d'una carcassa protectora. Asseguren haver dissenyat un políedre convex tancat compost exclusivament per $7$ cares triangulars.

1. a) Sabent que cada triangle té $3$ costats i que cada aresta del políedre és compartida per exactament dues cares contigües, calcula quantes arestes hauria de tenir aquest suposat cos. Quin problema matemàtic trobes amb el resultat obtingut?
2. b) Si la carcassa es redissenya perquè tingui $8$ cares triangulars, quantes arestes tindrà? Calcula quants vèrtexs ha de tenir obligatòriament aplicant el Teorema d'Euler.
3. c) Generalitza el raonament: demostra per què és geomètricament impossible construir un políedre tancat les cares del qual siguin exclusivament un nombre senar de triangles.