Ejercicios: Sistemas de ecuaciones

En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:

Comprueba, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:

1. a) $x = 10, y = 5$
2. b) $x = 8, y = 7$

Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:

"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de patatas ($y$) nos han cobrado $5$ €. Si compramos un refresco y una bolsa de patatas, el precio es de $3$ €."

(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$:

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:

Lucía ha comprado en la papelería $2$ bolígrafos y $3$ gomas de borrar por un total de $4$ €. Pedro ha comprado $2$ bolígrafos y $1$ goma de borrar por $2$ €.

Si $x$ es el precio de un bolígrafo e $y$ el de una goma, el sistema que representa la situación es:

Halla el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).

En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:

Resuelve el sistema por el método que prefieras para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.

En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesitas.
2. b) Comprueba si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:

Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.

Calcula las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.

En la cafetería del instituto, un grupo de amigos ha pagado $15\text{ €}$ por 4 refrescos y 2 bocadillos. Al día siguiente, otro grupo pagó $17,50\text{ €}$ por 3 refrescos y 4 bocadillos. Utiliza el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de un bocadillo.

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:

La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utiliza una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.

Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $4\text{ €}$ y de adultos a $7\text{ €}$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $1350\text{ €}$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?

Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Ana a $18\text{ km/h}$.

Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Ana:

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
2. b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):

En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ €. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 ratones por $110$ €. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los ratones un $20\%$ sobre su precio original.

Calcula el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.

Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ cm. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcula el área del rectángulo original.

Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y otra con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de litros debe mezclar de cada garrafa para obtener la solución deseada?

La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.

(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).

Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.

Calcula la velocidad de cada ciclista en km/h planteando un sistema de ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos:

Una vez resuelto, indica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.