El espacio

En el mundo del diseño de videojuegos, los objetos se definen por sus dimensiones. Indica cuántas dimensiones ($1$, $2$ o $3$) tienen los siguientes elementos que encontramos en una habitación:

1. a) El cable de unos auriculares estirado.
2. b) La pantalla plana de un monitor (sin contar su grosor).
3. c) Una caja donde guardas los juegos de la consola.
4. d) Un punto de luz en el techo.

Imagina que las paredes, el suelo y el techo de tu clase son planos. Indica la posición relativa de:

1. a) El plano del suelo y el plano del techo.
2. b) El plano de la pared de la pizarra y el plano de la pared de la ventana (que está a su lado).
3. c) Una recta formada por la esquina entre dos paredes y el plano del suelo.

Observa las aristas de este cubo y determina la posición relativa (paralelas, secantes o que se cruzan) de los siguientes pares de rectas que contienen a las aristas:

1. a) La recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $C$ y $D$.
2. b) La recta que pasa por $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $B$ y $C$.
3. c) La recta que pasa por $A$ y $B$ con respecto a la que pasa por $G$ y $H$.

En el espacio existen rectas que no son paralelas pero que nunca se cortan. Estas rectas se llaman rectas que se cruzan. Observa el dibujo de la rampa de skate y di qué posición relativa tienen:

1. a) El borde superior de la rampa ($r$) y la línea de la base en el suelo ($s$).
2. b) El borde vertical de la barandilla ($t$) y la recta $s$.

Observa el siguiente cubo o hexaedro regular cuyos vértices han sido nombrados. Identifica las posiciones relativas de las aristas indicadas:

1. a) La arista $AB$ respecto a la arista $EF$.
2. b) La arista $AD$ respecto a la arista $CG$.
3. c) La arista $GH$ respecto a la arista $AB$.

Dibuja en tu cuaderno (o describe) la situación de una recta y un plano en los siguientes casos:

1. a) La recta es paralela al plano (piensa en un fluorescente del techo y el suelo).
2. b) La recta está contenida en el plano (piensa en una línea pintada en el suelo).
3. c) La recta es secante al plano (piensa en un lápiz que atraviesa una hoja de papel).

En una habitación de paredes perpendiculares, consideramos una de las esquinas del techo como el origen de puntos. Si trazamos una línea imaginaria que cruce la habitación desde esa esquina hasta la esquina opuesta del suelo (diagonal de la habitación):

1. a) ¿Qué posición relativa tiene esa línea respecto al plano del suelo?
2. b) ¿Se corta esa línea con la recta que forma la unión de dos paredes laterales? Justifica tu respuesta.
3. c) ¿Cuántos puntos en común tiene la diagonal con el plano de una de las paredes?

En el diseño de una carpa publicitaria con forma de prisma triangular recto, nos interesa analizar la relación entre sus planos. Si consideramos el plano $\pi$ que contiene a la base inferior del prisma:

1. a) Indica qué caras del prisma generan planos secantes (intersecantes) al plano $\pi$.
2. b) Indica qué aristas del prisma son paralelas al plano $\pi$.
3. c) ¿Qué figura geométrica se forma en la intersección de una cara lateral con el plano de la base?

Imagina que estás diseñando una estructura para un parque de aventuras. Tienes un cubo gigante cuyos vértices están nombrados como $A, B, C, D$ (base inferior) y $E, F, G, H$ (base superior, de modo que $E$ está encima de $A$, $F$ encima de $B$, etc.).

Si trazamos una línea recta que pasa por los puntos medios de las aristas $AE$ y $CG$, y otra línea recta que une los vértices $B$ y $H$:

1. a) Indica cuál es la posición relativa de estas dos rectas en el espacio. Justifica si se cortan, son paralelas o se cruzan.
2. b) Si trazamos un plano que pase por los puntos $B$, $D$ y $H$, ¿qué tipo de sección (figura plana) se forma al cortar el cubo?
3. c) ¿Cuántas aristas del cubo son secantes al plano definido por la cara $ADHE$?

Muchos cuerpos geométricos se generan al hacer girar una figura plana alrededor de un eje. Estos se llaman cuerpos de revolución. Identifica qué figura (rectángulo, triángulo rectángulo o semicírculo) ha generado cada uno de estos objetos al girar:

1. a) Una lata de refresco cilíndrica.
2. b) Un cono de tráfico.
3. c) Una bola de petanca.

Los cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos se llaman poliedros. En cualquier poliedro simple, se cumple una relación famosa llamada Fórmula de Euler: $Caras + Vértices = Aristas + 2$.

Comprueba si se cumple esta fórmula para un cubo, sabiendo que tiene $6$ caras, $8$ vértices y $12$ aristas. Escribe la operación matemática.

Se realiza un corte a un cilindro recto de radio $r = 4$ cm y altura $h = 10$ cm mediante un plano. Describe qué figura plana se obtiene si:

1. a) El plano es paralelo a las bases del cilindro.
2. b) El plano es perpendicular a las bases y pasa por el centro de las mismas.
3. c) El plano es oblicuo a las bases y no llega a cortarlas.