Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbelas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indica el valor de sus coeficientes $a$, $b$ y $c$:

1. a) $3x^2 - 5 = x + 2$

1. b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$

1. c) $5x - 3 = 0$

1. d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$

Calcula la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerda que pueden tener dos soluciones, una o ninguna):

1. a) $x^2 - 49 = 0$

1. b) $2x^2 - 32 = 0$

1. c) $x^2 + 25 = 0$

1. d) $5x^2 = 0$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvides que una de las soluciones siempre es $x = 0$:

1. a) $x^2 - 7x = 0$

1. b) $3x^2 + 12x = 0$

1. c) $x^2 = 5x$

1. d) $4x^2 - 2x = 0$

Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra? Escribe la ecuación de segundo grado correspondiente y resuélvela.

Sin resolver las ecuaciones, calcula el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indica si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$

1. b) $x^2 - 5x + 4 = 0$

1. c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas utilizando la fórmula general:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

1. b) $x^2 + 2x - 8 = 0$

1. c) $x^2 - 10x + 25 = 0$

El producto de un número entero por su siguiente es igual a $30$. Traduce este enunciado a una ecuación de segundo grado y halla de qué números puede tratarse (recuerda que existen dos posibles parejas de números).

Halla las dimensiones del rectángulo de la figura sabiendo que su área es de $15$ $cm^2$. Para ello, plantea una ecuación de segundo grado y resuélvela mediante la fórmula general.

El ayuntamiento de un pueblo quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un polideportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total que ocupa la lona es de $144 m^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula cuánto mide el lado de dicha lona.

Halla un número entero tal que si le sumas su propio cuadrado, el resultado obtenido es $42$. Pista: Recuerda pasar todos los términos a un miembro para igualar la ecuación a cero.

La base de una nueva tablet tiene forma rectangular. Sabemos que su base mide $4 cm$ más que su altura y que su superficie total es de $60 cm^2$. Calcula las dimensiones (base y altura) de la tablet resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente.

En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utiliza el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar cuántas soluciones reales tiene cada una:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más adecuado (extracción de factor común o raíz cuadrada directa):

1. a) $3x^2 - 27 = 0$
2. b) $x^2 + 5x = 0$
3. c) $2x^2 = 8x$

Un diseñador de jardines quiere rodear una fuente circular con un borde de flores. La ecuación que describe el área ocupada por el diseño es $x(x - 8) = -15$, donde $x$ es una medida en metros. Resuelve la ecuación utilizando la fórmula general para encontrar los posibles valores de $x$.

Reduce la siguiente expresión a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halla sus soluciones aplicando la fórmula:

Marta y Javier están jugando a "adivinar la ecuación". Marta dice: "Mi ecuación tiene las soluciones $x_1 = 3$ y $x_2 = -5$ y el coeficiente del término $x^2$ es $1$".

Escribe la ecuación de Marta en su forma general ($x^2 + bx + c = 0$). Ayuda: Utiliza la forma factorizada $(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$.

Un programador de videojuegos está diseñando la fórmula para calcular la experiencia crítica de un personaje. Tras simplificar el código, la ecuación resultante es la siguiente:

Opera, reduce a la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ y halla los valores de $x$ que hacen que la fórmula funcione.

Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la ecuación que describe su trayectoria, $x^2 - 10x + k = 0$, debe ser igual a cero.

¿Qué valor debe tener el coeficiente $k$ para que la rampa tenga una única solución (solución doble)? Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación para encontrar el punto de apoyo.

Un patinete eléctrico de $130$ cm de largo se ha quedado apoyado contra una pared. La distancia desde el pie de la pared hasta la base del patinete es $70$ cm menor que la altura que alcanza el patinete en la pared.

Si llamamos $x$ a la altura de la pared, aplica el Teorema de Pitágoras para plantear una ecuación de segundo grado y calcula dicha altura.

El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y halla cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja de números que cumpla la condición?

Un artista urbano quiere pintar un mural cuadrado en una pared. Sin embargo, decide ampliar el diseño original aumentando su lado en $2$ metros. Al hacerlo, el área total del mural se triplica respecto al diseño original.

Calcula cuánto medía el lado del mural originalmente (aproxima el resultado a dos decimales si es necesario).

Se lanza un pequeño dron de juguete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra el dron tras un tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión:

¿En qué momentos se encontrará el dron exactamente a $25$ metros de altura? Explica por qué obtienes dos soluciones distintas.

En una red social de fotografía, el número de "Likes" de la publicación de hoy de un influencer ha sido tal que, si se le restan $10$ unidades y el resultado se eleva al cuadrado, se obtiene el mismo valor que multiplicando el número de "Likes" por $5$ y sumándole $50$.

Calcula cuántos "Likes" ha recibido hoy dicha publicación.

Una lámina de cartón rectangular mide $20$ cm de base y $15$ cm de altura. Queremos recortar un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas para fabricar una caja abierta. Si sabemos que el área de la base de la caja resultante debe ser de $150$ cm², calcula cuánto debe medir el lado $x$ de los cuadrados recortados.