Potencias de exponente entero
Una bacteria que se duplica cada hora, un medicamento que pierde la mitad de su efecto cada cierto tiempo, una hoja de papel que se dobla veinte veces: todo esto se escribe con potencias. Hasta ahora el exponente era un número natural que contaba "cuántas veces se multiplica". Ahora el exponente puede ser $0$ o negativo, y el significado cambia: en vez de multiplicar, va a dividir.
Por qué $a^0 = 1$
Fíjate en qué pasa si divides potencias de la misma base restando los exponentes, incluso cuando el resultado es $0$:
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$,…
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ y $(-1)^{-4}$.
Exponente negativo: el inverso
Sigue la misma idea un paso más allá: ¿qué significa $2^{-2}$?
Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Analiza y discute razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o…
Analiza y discute razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o negativo, y si el número entero $n$ es par o impar. Elabora un esquema o tabla con los cuatro casos posibles resultantes de esta combinación y acompáñalo de un ejemplo numérico concreto para cada uno de los casos.
Base fraccionaria: se invierte la fracción
Cuando la base ya es una fracción, el exponente negativo invierte numerador y denominador a la vez.
Expresa las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcula su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y…
Expresa las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcula su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.
Combinar propiedades con exponentes negativos
Las propiedades que ya conoces (producto, cociente, potencia de potencia) funcionan exactamente igual cuando los exponentes son negativos: solo hay que sumar y restar con su signo, con cuidado.
Simplifica la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y da el resultado como una única potencia:…
Simplifica la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y da el resultado como una única potencia: $\frac{8^4}{4^5}$.
Simplifica la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deja el resultado como…
Simplifica la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deja el resultado como un producto de potencias de números primos:
$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$
En un examen de matemáticas, un alumno ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladamente cuál ha sido el error conceptual…
En un examen de matemáticas, un alumno ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladamente cuál ha sido el error conceptual del alumno, enuncia la propiedad correcta que debería haber utilizado y calcula el resultado verdadero en forma de fracción.
Aplicaciones: desintegración y ecuaciones exponenciales
Multiplicar por una potencia de exponente negativo es "repartir en partes": cada vez que pasa una unidad de tiempo, la cantidad se divide por el mismo factor.
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su…
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su tercera parte. Si la cantidad inicial de toxinas es de $81$ gramos, expresa con una potencia de exponente negativo la cantidad de toxina que queda tras pasar por $4$ filtros sucesivos y calcula su valor exacto.
Encuentra el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:…
Encuentra el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:
$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extrae factor común:…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extrae factor común:
$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$