Permutaciones
¿De cuántas formas pueden llegar a la meta 7 corredores, sin empates? Es una pregunta de ordenar: colocar todos los elementos de un conjunto, uno tras otro. A esto se le llama permutación, y es el caso más simple (y más usado) de la combinatoria.
Permutaciones de n elementos distintos
Para el primer lugar hay $n$ opciones; elegida esa, para el segundo quedan $n-1$; para el tercero, $n-2$; y así hasta que solo queda $1$ opción para el último.
$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la…
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?
Durante una competición de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al…
Durante una competición de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al finalizar la carrera?
Permutaciones con restricciones de posición
Muchas veces una parte de la ordenación está fijada de antemano: dos personas que deben sentarse juntas, un elemento que debe ir primero o último... En esos casos no se aplica $n!$ directamente: hay que razonar la restricción primero y ordenar lo que queda libre después.
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Marta y Pablo, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden…
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Marta y Pablo, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse los cinco amigos cumpliendo siempre esta condición?
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado…
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado en último lugar debido a una lesión, ¿de cuántas formas distintas han podido clasificarse los demás participantes en las posiciones intermedias?
Permutaciones con elementos repetidos
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de ANA? Si tratases las dos letras A como distinguibles ($A_1$ y $A_2$) saldrían $3!=6$ ordenaciones, pero la mitad son indistinguibles al leerlas: $A_1NA_2$ y $A_2NA_1$ son, en realidad, la misma palabra.
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera…
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera amarilla, todas del mismo tamaño, ¿cuántas señales distintas puede enviar usando todas las banderas a la vez?
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos…
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos códigos distintos puede programar el sistema?
Permutaciones circulares y caminos en cuadrícula
En una fila, el primer y el último puesto son distintos. En una mesa redonda no hay "primer asiento": solo importa el orden relativo. Girar a todo el grupo un asiento entero no cuenta como una colocación nueva.
Otra situación con el mismo tipo de recuento, aunque no sea circular: un repartidor que solo puede moverse hacia la derecha o hacia arriba en una cuadrícula. Cada camino mínimo es una secuencia de pasos "derecha" (D) y "arriba" (A), y contar caminos equivale a ordenar esa secuencia con letras repetidas.
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición…
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición relativa entre ellos y no la silla exacta que ocupan en el salón?
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la…
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. ¿Cuántos caminos diferentes de longitud mínima puede tomar para realizar la entrega?