Función logarítmica

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.

a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.

b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.

c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.

Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina su dominio analíticamente.

b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.

c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.

b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.

c) Escribe la expresión analítica completa de la función.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.

Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.

Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.