Ejercicios: Ángulos orientados y circunferencia goniométrica

Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.

A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:

• $\sin 90º$ y $\cos 90º$

• $\sin 180º$ y $\cos 180º$

• $\sin 270º$ y $\cos 270º$

• $\sin 360º$ y $\cos 360º$

Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.

A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.

En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.

Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.

Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:

• $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$

Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.

Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.

• ¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?

• ¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?

• Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?

Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).

• Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.

• Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.

Considera el ángulo $\alpha = 215º$.

• Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.

• Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.

• Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.

Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:

• Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.

• Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.

• La tangente de $90º$ no existe.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:

«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»

Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.

En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.

• ¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.

• Si $\sin \alpha = 0,42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.

• ¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.

El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0,8$.

• ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?

• Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calcula $\tan \alpha$.

• Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.

A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.

• Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.

• Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.