Semejanza de triángulos rectángulos
La altura trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa parte un triángulo rectángulo en dos triángulos más pequeños. Los tres —el grande y los dos pequeños— son semejantes entre sí. De ahí salen dos fórmulas que vas a usar continuamente: el teorema de la altura y el teorema del cateto.
Tres triángulos semejantes en uno
El teorema de la altura
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro…
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?
El teorema del cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
Aplicaciones: cerchas, velas y bóvedas
Estos teoremas no son solo un ejercicio de geometría: aparecen en el diseño de cerchas de tejado, velas triangulares y arcos de puente, donde una medida vertical (la "altura") reparte una medida horizontal (la "hipotenusa") en dos tramos.
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la…
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?
En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ m y separa…
En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ m y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1,8$ m. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$…
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ m. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4,5$ m, calcula la superficie total de la vela en metros cuadrados.
Resolver con una ecuación
Cuando el dato que te dan es una relación entre $m$, $n$ y $h$ en vez de sus valores directos, hay que plantear una ecuación con los dos teoremas y resolverla.
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos…
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la…
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ cm. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de…
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.