Ejercicios: Teorema de Tales

Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.

Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ cm mide $8$ cm. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ cm.

Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.

Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.

Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3,5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3,5$ cm mide $4,2$ cm. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ cm en la recta $s$?

En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm y $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del lado completo $AC$.

Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden $24$ cm y $32$ cm. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.

En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra a $15$ m del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0,3$ m.

Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ en una de las orillas, y toma como referencia un árbol $T$ en la orilla opuesta. Sabiendo que el segmento $AB$ es paralelo al segmento $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m y la distancia desde $A$ hasta el río perpendicularmente es de $2$ m, calcula la anchura del río aplicando la semejanza de triángulos.

Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1,2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ m, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?

En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2,4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0,9$ m de altura) y cae en el campo contrario. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ m, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?

Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero o una fracción simplificada.

Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1,4 \times 10^6$ km y se encuentra a $1,5 \times 10^8$ km de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ km de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.

En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura máxima en el centro es de $3$ m. Si el puntal se coloca a $1,5$ m del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?

En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos correspondientes miden $x-2$ y $x$. Plantea la proporción, resuelve la ecuación resultante de segundo grado y halla el valor de los cuatro segmentos.

Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1,80$ m de altura, camina hacia el telón. Cuando está a $4$ m del foco, su sombra mide $h_1$. Si camina $2$ m más hacia el telón, su sombra mide $h_2$. Sabiendo que la distancia total del foco al telón es de $10$ m, calcula la diferencia de altura entre las dos sombras proyectadas ($h_1 - h_2$).

En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).

Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1,60$ m del suelo se sitúa a $1,20$ m del centro del espejo y ve exactamente reflejada en él la antena de un edificio. Si la distancia desde el espejo hasta la base del edificio es de $18$ m, y tanto la persona como el edificio son perpendiculares al suelo, ¿cuál es la altura total de la antena desde el suelo?

En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical hasta el brazo inferior horizontal, midiendo $3$ m. Desde un nodo $B$, situado $4$ m más adelante en el brazo principal, se traza otro tirante vertical que mide $4,5$ m. ¿A qué distancia del nodo $A$ se encuentra el punto de articulación (donde se unen los dos brazos de la grúa)?

Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los segmentos de una de las transversales miden $x$ y $x+5$, mientras que la base del triángulo superior mide $12$ cm y la base del triángulo inferior mide $27$ cm. Calcula el valor de $x$ y la longitud total de esa transversal.

Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ m de altura. Clava la primera varilla en el suelo y, tumbándose, alinea visualmente la punta de la varilla con la cima de la montaña. La distancia desde su ojo hasta la varilla es de $1,5$ m. Luego retrocede $150$ m en línea recta, clava la segunda varilla, y alinea de nuevo su ojo con la punta de la varilla y la cima. Esta vez, la distancia de su ojo a la varilla es de $1,6$ m. Calcula la altura de la montaña.

Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.