Ejercicios: Triángulos rectángulos

En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del tejado.

Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de subida sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud del tramo de subida.

Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.

El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3,2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?

En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un lado inclinado (cateto) mide $5\text{ m}$ y la viga inferior total mide $10\text{ m}$, ¿cuánto mide la proyección de ese lado sobre la viga inferior?

Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?

En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la altura relativa a la hipotenusa. Utiliza el teorema del cateto para calcular cuánto miden las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de $4,8\text{ m}$ y la proyección del lado menor sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Calcula la longitud de los dos catetos y de la hipotenusa.

Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1,6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.

Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro cateto. Si la altura relativa a la hipotenusa mide $4,8\text{ dam}$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la longitud total de la hipotenusa.

En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la banda y el agujero a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia horizontal paralela a la banda entre la bola y el agujero es de $100\text{ cm}$, ¿a qué distancia horizontal desde la posición inicial de la bola debe producirse el impacto en la banda?

En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del ángulo recto del triángulo coincide con un vértice del cuadrado y el vértice opuesto del cuadrado descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilizando semejanza de triángulos.

El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los catetos) mide $1,2\text{ m}$ más que su proyección sobre la hipotenusa. Determina las dos posibles longitudes que puede tener el borde de fuga utilizando el teorema del cateto.

En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno de los lados del cuadro. Si las proyecciones de los catetos sobre la base miden $16\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$, y el cuadro ocupa exactamente el rectángulo formado por la altura y la proyección menor, ¿cuál es el área del cuadro?

En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se tira un cable tenso hasta la cima del otro poste. Los cables se cruzan a una altura $h$. Demuestra mediante semejanza de triángulos que la altura $h$ a la que se cruzan no depende de la distancia $d$ y calcula su valor.

Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea recta. Calcula la longitud de dicho pliegue basándote en la semejanza de triángulos rectángulos que se forman.

Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos tirantes (hipotenusa) es de $125\text{ m}$. Si uno de los tirantes mide $25\text{ m}$ más que el otro, determina la altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).

Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una varilla recta perpendicular a la hipotenusa que pasa por el vértice del ángulo recto (es decir, la altura). A su vez, desde el pie de esta altura traza otra varilla perpendicular al cateto mayor. ¿Cuánto mide esta última varilla?

Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es la anchura del río?

Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Posteriormente, verifica esta relación calculando la altura de ambas formas en un triángulo de catetos $10\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.

Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal obtenida es de $15\text{ cm}^2$, ¿cuál es el volumen de la pirámide original si su altura total es de $18\text{ cm}$?

En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos que están en proporción $9:16$. Si la altura mide $6\text{ m}$, calcula el perímetro total del triángulo que forma el techo.