Ejercicios: Operaciones con polinomios

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.

Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.

Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.

Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.

Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las identidades notables correspondientes:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:

1. a) $16x^2 - 25$
2. b) $9x^4 - 49$

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ metros, y el resto se cubrirá de césped. Expresa el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.

Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x \text{ cm}$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Encuentra el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja resultante en función de $x$.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el teorema del resto para justificar tu respuesta.

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y las identidades notables:

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

El coste de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.

Halla el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costes totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?

Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y exprésalo en su forma desarrollada.

La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.

Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?

Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.

Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$. Expresa el área total y el perímetro exterior de la pista como polinomios dependientes de $x$ (deja el número $\pi$ indicado en los coeficientes).

Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo rectángulo (es decir, cumplen el Teorema de Pitágoras). Comprueba tu resultado evaluando los polinomios para $x = 4$.

Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costes de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación.

Encuentra el polinomio de beneficio $B(x)$. Sabiendo que en el mes $x = 10$ el beneficio es exactamente cero (punto de equilibrio), factoriza el polinomio $B(x)$ para determinar en qué otro mes el beneficio vuelve a ser cero.

Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible:

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

A continuación, evalúa el polinomio resultante para $x = 2$ e $y = -1$.

Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea exacta.

Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista $x$ metros. Expresa mediante un polinomio ordenado el volumen de agua necesario para llenar el espacio libre del depósito. Deja la constante $\pi$ indicada en los coeficientes que la requieran.

Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra la expresión desarrollada de $P(x)$ (es decir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).